从傅里叶级数（Fourier series）到离散傅里叶变换（Discrete Fourier transform）
一. 傅里叶级数（FS）
首先从最直观的开始，我们有一个信号(x(t))（满足Dirichelet条件），先假设它是周期的，为了研究它，我们使用级数将之展开，展开方法如下
现在问题就是如何求解(a_k)。因为三角函数是正交系，即
这样我们就可以进行如下操作：
对（1）式左右同时积分：
由于
故（3）积分的结果如下：
于是我们得到了(a_k)：
这样我们就把一个周期信号分解成了一系列模为(a_k)的复周期信号的组合，形象表示就是这样：
OK，到这里我们成功将一个周期信号分解成了傅里叶级数。但是这里也有两个问题依然困扰着我：
1.首先（相信大家也注意到了我第一句标黄的内容），非周期有限信号能不能展开成傅里叶级数呢？
比如，如果有一个函数，它是这样的：
我们同样可以在0-T上做积分，并且得到(s(t))的(a_k)和(x(t))的(a_k)是相同的，也就是说，可以把s(t)写成：
但是咱也理解，这样的一个式子大概率不能叫做级数，充其量叫个级数的一部分。不过我们主要研究信号，就不关心这些数学概念了。那么对于这样的一个信号，傅里叶级数还能不能表达它的频谱特性呢？它的频谱跟(x(t))又有什么联系呢？,这两个问题我们在第二部分解答。
2. 三角函数系的正交性强调的是一个周期内的积分，但是没有说一定是最小正周期，如果我们在(2T)、(3T)或者(nT)上积分，会发生什么呢？
回答这个问题之前，我们先对傅里叶级数做一个比较统筹的显示，我们不妨以(w)作为横坐标，以(a_ke^{jkw_0})的强度（也就是(||a_ke^{jkw_0}||=|a_k|)）作为纵坐标，构建一个二维直角坐标系(数据大小是随便给的)：
分析这个图，我们知道每两个”柱子“之间的距离应该是(Delta w=w_0=frac{2pi}{T})，所以，如果我们增大T，两个数据之间的距离就会变小，如下：
可以看到，(T)越大,两个数据之间的横轴距离就越小，不妨做个猜想：当(Tto infty)时，这个离散的谱就变成了连续谱。是这样吗？应该说对有限信号是这样的，对无限周期信号则不是，这是为什么呢？请看下一节傅里叶变换的解读。
二. 傅里叶变换（FT）
2.1 傅里叶变换的推导
接着前面的猜想进行分析，为了得到可靠结论，我们进行如下数学分析：
接着（5）式开展：
用(w_0=frac{2pi}{T})替代(T)，同时将(x(t))表示出来:
当(w_0to 0)时，可用(w_0=mathrm{d} w)表示它，此外，对于(kw_0)的累加就变成了积分（累加步长(kw_0)无限小）,故而上式变成了：
这样我们实现了将一个信号分解成连续的频谱，而这个频谱就是：
（6）式就是傅里叶变换的基本形式，当然有些地方可能将系数(frac{1}{2pi})进行了一些变换,比如：
这些都是小细节，咱们就不在意了。
2.2 周期函数的傅里叶变换
观察（8）这个式子，我们很快又发现了另外一个问题，积分区域是无穷，而周期函数在无穷区间积分，那必然是发散的，怎么解呢？
我们是这样处理的：
-
首先将(x(t))表示成傅里叶级数：
[x(t)=sum_{k} a_ke^{jkw_ot} ] -
对级数做傅里叶变换，也就是：
[X(w)=sum_{k} F(a_ke^{jkw_ot})=a_ksum_{k} F(e^{jkw_0t})tag{9} ]
于是问题转化成了如何求(e^{jkw_0t})的傅里叶变换，这个就要使用傅里叶变换的基本性质了：信号乘以(e^{jw_0t})相当于傅里叶变换(X(w))进行频移(w_0)， 这个我们也可以顺便证明一下：
又由于：
所以：
把（10）代入（9），就得到了周期函数的傅里叶变换：
可以看出，周期函数的傅里叶变换是一系列冲击串，这个倒也符合我们的直觉：
傅里叶变换每个(X(w))可以理解为信号频率为(w)的分量的大小，对于周期信号，它的每一个频率分量都是一个无限长信号，所以每一个分量的能量都是无穷的，所以在频谱上就表示为冲击串了。
2.3 有限长非周期信号的傅里叶变换
好了，现在我们来解答第一节中的第二个问题：有限长非周期信号的傅里叶变换和周期信号频谱的关系。
对于有限长信号：
可以换一种表达方式:
要求(F[s(t)])，我们首先需要以下几个结论：
-
时域相乘等于频域卷积，证明:
[若Z(w)=X(w)*Y(w),则\ begin{split} z(t)&=F^{-1}(Z(w))\ &=int_infty [int_infty X(m)Y(w-m)mathrm{d}m]e^{jwt}mathrm{d}t \ &=int_infty X(m)[int_{infty}Y(w-m)e^{jwt}mathrm{d}t]mathrm{d}m\ &=int_infty X(m)y(t)e^{jmt}mathrm{d}m\ &=x(t)y(t)\ 得证 end{split} ]注：如果从采用(z(t)=x(t)y(t)出发，去证明Z(w)=X(w)*Y(w))会比较麻烦。
-
(F[u(t)-u(t-T)]=frac{1-e^{-jwt}}{jw})，这个就很好证明了:
[begin{split} F[u(t)-u(t-T)]&=int_{0}^{T}x(t)e^{-jwt}mathrm{d}t\ &=frac{1-e^{-jwt}}{jw} end{split} ]这个函数展现的频谱图像如下：
好了，我们现在可以开始计算（6）式(s(t))的傅里叶变换了：
及(sum_{k}delta(w-kw_0)*frac{1-e^{-jwt}}{jw})就是(F[u(t)-u(t-T)])以(kw_0)移位叠加,一些一组图表示这个过程：
简单起见，我们令|X(w)|为：
对它进行卷积，也就是将下面两个信号叠加：
于是得到|S(w)|：
图不咋好看，可能是频率分辨率没调好，但是大概样子大家能看清楚了，也就是在周期信号的频谱里的冲击串变得平滑了，或者换句话说，原来集中在某个(kw_0)频率的能量一部分泄露到了全频域。
这个在物理意义上也比较好理解，把周期信号截断了，实际上是把一部分信号值变成了0，从某个值突然变到0(x(T)->0)，这里没有平滑过渡，是一个突变，而我们知道，突变包含所有频率分量。
至此，我们完成了傅里叶级数到傅里叶变换的推导。
三、时域离散化
在实际应用中，我们大多处理的是数字信号，也就是时域离散的信号，我们来看看时域离散对信号频谱的影响。
这个时候，我们可以把信号表示为
根据（10），利用傅里叶变换的对偶性，可以得出：
所以(x(t))的傅里叶变换为：
也就是说，(x(n))的傅里叶变换就是下(x(t))的傅里叶变换以(w_s)为周期，移位叠加。
如上图，假设中间的三角形就是(X(w))，则它经过移位叠加后得到的上图就是(F(x(n)))。
从这张图我们也可以看出一个重要的定理——奈奎斯特采样定理：采样频率需要高于信号最高频率的两倍，因为如果不能满足
就会发生频谱混叠（上图的两个相邻三角形叠在一起了）。
这样我们就得到了时域离散信号的傅里叶变换，但是显然，这样得到的频谱也是连续的，计算机存储的是离散信号，那么如何将频域也离散化呢？请看下节。
四、DFT
回顾前面的内容，我们发现，满足频域离散的只有一种信号，那就是周期信号。于是让信号离散化的方法就呼之欲出了：
假设我们采集到的N个数据其实是一个周期信号的一个周期，或者换句话说，我们把这N点数据以N为周期进行延拓，那么接下来要做的就是对一个周期信号的傅里叶变换了，又时域是离散的，傅里叶变换就退化成了傅里叶级数形式：
现在好了，时域和频域都是离散的了，而且频域和时域一样只有N个点。并且通过上面时域离散造成频域以采样角频率(w_s)拓展的结论，我们可以知道，这个数字频谱，其实就是在长度为(w_s)的区间内插入了N个点，所以没两个点之间的频率间隔为
这个(Delta w)也叫做频率分辨率，也就是通过这个频谱能区分的两个频率最小的间隔。
这里我们再对模拟角频率(Omega)和数字角频率做一个区分：
在模拟域，频率(f)表示的是一个信号每秒重复变化的次数，模拟角频率(Omega=2pi f)表示的就是单位时间内信号相位角变换的弧度。可以把一个重复的信号想象成一个点做圆周运动，(f)表示它单位时间绕了多少圈，(w)表示它单位时间转过多少弧度。
在数字域，我们同样可以通过单位时间信号相位角的该变量来表示角频率，但是数字域只有单位1，无连续时间的概念，长度为N的序列，两个点相隔的时间是(frac{1}{f_s})，所以数字域的“时间”每改变1，角度改变应该是：
上式还可以写作(w=2pi frac{f}{f_s})，又由采样定理知(f_s>2f),所以(w<pi)，但是我们常常取数字频域的(0-f_s)进行研究，也就是说(w)最大取到(2pi)(实际上是0移位一个周期得到的)，可见：(w)被限制在了[0 (2pi)]，所以我们也称数字角频率(w)为归一化频率。
其实上述所有的推导都能在《信号与系统》和《数字信号处理》教材里找到，我只是做了一个整理和总结，建议大家还是精读课本，写书的人一般比写博客的人强。
