关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础

今天学了前缀和和差分,为了避免我把它忘掉,我还是浅浅的记录一下吧

首先需要知道什么是前缀和与差分:

关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础

 

 前缀和就是数组中某元素之前(包括此元素)的所有元素的和

设b[]为前缀和数组,a[]是原数组。

 

对于一维数组而言,某个元素的前缀和就是从这个数组的第0个元素到这个元素的所有元素之和。

 关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础

即:

关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础

那么就可以对区间求和产生更深刻的理解:

对于求出一个区间[l,r]的所有元素之和,我们就可以将首元素的前缀和与末元素的前缀合相减。

代码如下:

关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础

 

 

 而对于二维数组来说,每个元素的前缀和b[x][y]就是从a[0][0]到a[x][y]之间所有元素的和

比如b[3][1],就可以如下图的方法表示:

关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础

 

而如果我想给一个区间求和,就直接表示为:

关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础
即:
关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础

 

那我要是想给一个区间求和,就可以表示为:

关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础
 
 
关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础
 

 

 

 

 

 

 

 

代码如下:

关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础

 

 

 

关于差分,就是将当前元素与前一个元素相减。

比如给定一个数组a[n]={1,3,7,5,2},他的差分数组就是d[n]={1,2,4,-2,-3}

他的应用有很多,比如:给定一个序列,m次访问,每次输入两个一维坐x1,x2,并输入一个数c,代表这个数列从第x1个数到第x2个数之间的元素都加c,最后输出最新的序列。

对于这种题,先求出这个序列的差分数组d,每次询问让[L,R]+V转化为d[L]+V,d[R+1]-V ,最后再将新数组求一次前缀和即可。

关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础

 

 对于二维差分

 现在我要在左上角是 (x1,y1),右下角是 (x2,y2) 的矩形区间每个值都 +p

 那如果开始位置+p,那根据前缀和的性质,那么它影响的就是整个黄色部分(所有的求和都增加了),多影响了两个蓝色部分。所以在两个蓝色部分 -p 消除 +p 的影响,而两个蓝色部分重叠的绿色部分多了个 -p 的影响,所以绿色部分 +p 消除影响

关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础

 

 

关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础

 

 代码如下:

关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础

 

关于lowbit()函数

lowbit(x)是x的二进制表达式中最低位的1所对应的值

比如12的二进制可以表示为1100,所以他的lowbit就是1*8等于8

关于他的代码实现也很简单

1 int lowbit(int x) 2 { 3     return x&(-x); 4     //实际上就是负数的补码运用  5 }

如何用lowbit()来维护其区间

设结点的编号为x,那么这个结点维护的区间就是 (x-lowbit(x),x] (注意区间的开闭)

关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础

 

 

c1维护区间(1-lowbit(1),1]即(0,1]  也就是A1本身

c2维护区间(2-lowbit(2),2]即(0,2]  A1+A2

c3维护(2,3]  A3

c4维护(0,4]  A1+A2+A3+A4

c5维护(4,5]  A5

c6维护(4,6]  A5+A6

c7维护(6,7]  A7

c8维护(0,8] A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8

 不难发现,结点维护的叶结点(A单点区间)的个数就是其序号转换为二进制后lowbit的值

通过寻找规律,可以得到通式:

关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础
关于区间操作查找(前缀和与差分)+树状数组基础

 

 

寻找树状数组的性质:

(性质1)每个内部结点C[x]保存以它为根的子树中所有叶结点的和。
(性质2)每个内部结点C[x]的子结点个数等于lowbit(x)的值。
(性质3)除树根以外,每个内部结点C[x]的父亲结点是C[x+lowbit(x)]
(性质4)树的深度为O(logN)
 
通过这些性质,我们可以进行一系列操作:
1、查询前缀和:
 1 int lowbit(x)  2 {  3     return x&(-x);  4 }  5   6 int sum(int x)//查询前缀和(c[x]的区间和)   7 {  8     int res=0;  9     while(x>0) 10     { 11         res=res+c[x]; 12         x=x-lowbit(x); 13     } 14     return res; 15 }

2.单点修改:

 1 int lowbit(int x)   2 {  3     return x&(-x);  4 }  5 void update(int x,int y)  6 //a[x]+y操作,并让他的长辈加y   7 {  8     while(x<=n)  9     { 10         c[x]+=y; 11         x+=lowbit(x); 12     } 13 }

3、区间和计算

int calculate(int x,int y) {     return sum(y)-sum(x-1); }

经典题目:

 1 #include<cstdio>  2 #include<iostream>  3 using namespace std;  4 int c[100001];  5 int n,m,k,a,b;  6 int lowbit(int x)  7 {  8     return x&(-x);  9 } 10  11 void update(int x,int v) 12 //单点修改(在x的位置上加v)  13 { 14     while(x<=n) 15     { 16         c[x]+=v; 17         x+=lowbit(x); 18     } 19 } 20  21 int sum(int x) 22 { 23     int res=0; 24     while(x>0) 25     { 26         res+=c[x]; 27         x-=lowbit(x); 28     } 29     return res; 30 } 31  32 int main() 33 { 34     int v; 35     scanf("%d%d",&n,&m); 36     for(int i=1;i<=n;i++) 37     { 38         scanf("%d",&v); 39         update(i,v); 40     }  41     for(int i=1;i<=m;i++) 42     { 43         scanf("%d%d%d",&k,&a,&b); 44         if(k==0) printf("%dn",sum(b)-sum(a-1)); 45         else update(a,b); 46     } 47     return 0; 48 }

就先到这里吧,再见!

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