计算空间物体包围球的两种算法实现

技术分享 2年前 (2022-09-26) 0 999+

1. 概述

在进行二维空间几何运算的之前，往往会用包围盒进行快速碰撞检测，从而筛掉一些无法碰撞到的可能。而在三维中，比较常用的就是包围球了。当然，如何计算包围球是一个问题。

2. 详论

2.1. naive算法

一个最简单的思路就是，计算空间顶点在X、Y、Z方向上的最大值和最小值，那么就可以得到8个顶点组成的包围盒。取包围球中心为包围盒中心点，而包围球半径有的人认为可以取中心点到八个顶点的最大距离——这样其实并不严密。最好还是计算中心点到所有顶点距离的最大值：

void BoundingSphere::GetBoundingSphereNative(const std::vector<Vec3d>& pointList) {     if (pointList.empty())     {         return;     }      Vec3d minPoint(DBL_MAX, DBL_MAX, DBL_MAX);     Vec3d maxPoint(-DBL_MAX, -DBL_MAX, -DBL_MAX);      size_t vertexCount = pointList.size();     for (size_t vi = 0; vi < vertexCount; vi++)     {         if (minPoint.x() > pointList[vi].x())         {             minPoint.x() = pointList[vi].x();         }          if (minPoint.y() > pointList[vi].y())         {             minPoint.y() = pointList[vi].y();         }          if (minPoint.z() > pointList[vi].z())         {             minPoint.z() = pointList[vi].z();         }          if (maxPoint.x() < pointList[vi].x())         {             maxPoint.x() = pointList[vi].x();         }          if (maxPoint.y() < pointList[vi].y())         {             maxPoint.y() = pointList[vi].y();         }          if (maxPoint.z() < pointList[vi].z())         {             maxPoint.z() = pointList[vi].z();         }     }      Vec3d naiveCenter = (maxPoint + minPoint) / 2;     double naiveRadius = 0;     for (size_t vi = 0; vi < vertexCount; vi++)     {         naiveRadius = std::max(naiveRadius, (pointList[vi] - naiveCenter).length());     }     data = { naiveCenter.x(), naiveCenter.y(), naiveCenter.z(), naiveRadius }; }

这个算法的思路比较简单，所以称之为naive算法。

2.2. ritter算法

另外一种算法是一个名为ritter提出来的，所以称为ritter算法。

首先计算出X方向上距离最远的两个点，Y方向上距离最远的两个点以及Z方向上距离最远的两个点。以这三个距离最远的范围作为初始直径，这三个距离的中心点作为初始球心。

然后依次遍历所有点，判断点是否在这个包围球内。如果不在，则更新包围球。如下图所示：

如果点P在我们的之前得到的包围球之外，那么延长点P与球心O的直线与球相较于T点，很显然，新的直径应该是点T与点P的一半：

[R_{current} = frac{|overrightarrow{PT}|}{2} = frac{|overrightarrow{OP}| + |overrightarrow{OT}|}{2} ]

令点T与点P的中心点为S，也就是新的球心位置。关键就是求向量(overrightarrow{OS})，从而将球心O移动到新的球心S。

显然，向量(overrightarrow{OS})的距离还是很好求的，只新的包围球半径与之前包围球的半径之差：

[|overrightarrow{OS}| = R_{current} - R_{previous} ]

而向量(overrightarrow{OP})是已知的，根据向量关系，可求得：

[overrightarrow{OS} = frac{|overrightarrow{OS}|}{|overrightarrow{OP}|}overrightarrow{OP} ]

最后将之前的球心O移动向量(overrightarrow{OS})，就是新的包围球的球心位置了。

具体的算法代码实现：

void BoundingSphere::GetBoundingSphereRitter(const std::vector<Vec3d>& pointList) {     //     Vec3d minPoint(DBL_MAX, DBL_MAX, DBL_MAX);     Vec3d maxPoint(-DBL_MAX, -DBL_MAX, -DBL_MAX);     size_t minX = 0, minY = 0, minZ = 0;     size_t maxX = 0, maxY = 0, maxZ = 0;     size_t vertexCount = pointList.size();      for (size_t vi = 0; vi < vertexCount; vi++)     {         if (minPoint.x() > pointList[vi].x())         {             minPoint.x() = pointList[vi].x();             minX = vi;         }          if (minPoint.y() > pointList[vi].y())         {             minPoint.y() = pointList[vi].y();             minY = vi;         }          if (minPoint.z() > pointList[vi].z())         {             minPoint.z() = pointList[vi].z();             minZ = vi;         }          if (maxPoint.x() < pointList[vi].x())         {             maxPoint.x() = pointList[vi].x();             maxX = vi;         }          if (maxPoint.y() < pointList[vi].y())         {             maxPoint.y() = pointList[vi].y();             maxY = vi;         }          if (maxPoint.z() < pointList[vi].z())         {             maxPoint.z() = pointList[vi].z();             maxZ = vi;         }     }      //     double maxLength2 = (pointList[maxX] - pointList[minX]).length2();     Vec3d min = pointList[minX];     Vec3d max = pointList[maxX];     {         double yMaxLength2 = (pointList[maxY] - pointList[minY]).length2();         if (maxLength2 < yMaxLength2)         {             maxLength2 = yMaxLength2;             min = pointList[minY];             max = pointList[maxY];         }          double zMaxLength2 = (pointList[maxZ] - pointList[minZ]).length2();         if (maxLength2 < zMaxLength2)         {             maxLength2 = zMaxLength2;             min = pointList[minZ];             max = pointList[maxZ];         }     }      //     Vec3d ritterCenter = (min + max) / 2;     double ritterRadius = sqrt(maxLength2) / 2;     for (size_t i = 0; i < vertexCount; i++)     {         Vec3d d = pointList[i] - ritterCenter;         double dist2 = d.length2();          if (dist2 > ritterRadius * ritterRadius)         {             double dist = sqrt(dist2);             double newRadious = (dist + ritterRadius) * 0.5;             double k = (newRadious - ritterRadius) / dist;             ritterRadius = newRadious;              Vec3d temp = d * k;             ritterCenter = ritterCenter + temp;         }     }      data = { ritterCenter.x(), ritterCenter.y(), ritterCenter.z(), ritterRadius }; }

2.3. 其他

理论上来说，ritter算法的实现要优于naive算法，能够得到更加贴合的包围球。当然理论只是理论，具体的实现还要看最终的效果。根据文献2中所说，经过Cesium的比对测试，19%的情况下，ritter算法的效果比naive算法差；11%的情况下，ritter算法的效果会比naive算法好。所以在Cesium中，包围球的实现是把两者都实现了一遍，然后取半径较小的结果。