与归并排序相关的一些问题
作者：Grey
原文地址：
归并排序的递归解法
插入，选择，冒泡排序时间复杂度是O(N^2)，归并排序可以做到时间复杂度O(N*logN)。
归并排序的整体思路是利用递归，先让左边排好序，再让右边排好序，然后通过merge操作让整体有序。
merge操作类似合并两个及以上有序链表问题中提到的算法。
但是merge过程需要辅助数组，所以额外空间复杂度为O(N)。
完整代码和注释见：
public class Code_MergeSort { // 递归方法实现 public static void mergeSort1(int[] arr) { if (arr == null || arr.length < 2) { return; } process(arr, 0, arr.length - 1); } // 递归过程，让l...r变有序 public static void process(int[] arr, int l, int r) { if (l == r) { return; } // 求中点 int mid = l + ((r - l) >> 1); // 左边部分有序 process(arr, l, mid); // 右边部分有序 process(arr, mid + 1, r); // 整体变有序 merge(arr, l, mid, r); } // arr[l...mid]已经有序 // arr[mid+1...r]也已经有序 // 将arr[l...r]整体变有序 public static void merge(int[] arr, int l, int mid, int r) { // 辅助数组 int[] help = new int[r - l + 1]; int ls = l; int rs = mid + 1; int i = 0; while (ls <= mid && rs <= r) { // 谁小拷贝谁到辅助数组中。 if (arr[ls] < arr[rs]) { help[i++] = arr[ls++]; } else { help[i++] = arr[rs++]; } } // 左边和右边剩余部分直接拷贝到辅助数组中 while (ls <= mid) { help[i++] = arr[ls++]; } while (rs <= r) { help[i++] = arr[rs++]; } i = 0; for (int n : help) { arr[l + (i++)] = n; } } } 这个递归过程时间复杂度可以利用 master 公式来计算。
T(N) = 2*T(N/2) + O(N^1) 故上述算法时间复杂度为O(N*logN)
归并排序的迭代版本实现
因为任何递归函数都可以用非递归函数来实现，所以，归并排序有对应的迭代方法，思路如下
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设置一个步长，从 1 开始，1，2，4，8，16....2^n 方式递增
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每次处理对应步长的数组区间范围内的排序。
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步长超过或者等于数组长度，则整个数组排序完成。
比如[1,3,4,2,5,6,4,6,8]
先设置步长为 1，数组分成如下区间
[0...1],[2...3],[4...5],[6...7],[8...8]
注：最后一组不够分，则单独作为一组处理。
将如上区间内部排好序，得到的数组为
[1,3,2,4,5,6,4,6,8]
然后设置步长为 2，数组分成如下区间
[0...3],[4...7],[8...8]。
然后将上述区间内部先排好序，得到数组为
[1,2,3,4,4,5,6,6,8]
然后设置步长为 4，数组分成如下区间
[0...7],[8...8]。
然后将上述区间内部先排好序，得到数组为
[1,2,3,4,4,5,6,6,8]
最后设置步长为 8，数组只有一个区间，直接排序，得到最后结果
[1,2,3,4,4,5,6,6,8]
完整代码见
public class Code_MergeSort { // 归并排序的迭代版 public static void mergeSort2(int[] arr) { if (arr == null || arr.length < 2) { return; } int len = arr.length; // 步长，1，2，4，8.... int step = 1; while (step < len) { // 左组的第一个位置 int lStart = 0; while (lStart < len) { if (lStart + step >= len) { // 没有右组 break; } int mid = lStart + step - 1; // rEnd不能越界 int rEnd = mid + Math.min(step, len - mid - 1); // 右组中第一个位置 // 中点位置 merge(arr, lStart, mid, rEnd); lStart = rEnd + 1; } // 防止溢出 if (step > (len / 2)) { break; } step <<= 1; } } // arr[l...mid]已经有序 // arr[mid+1...r]也已经有序 // 将arr[l...r]整体变有序 public static void merge(int[] arr, int l, int mid, int r) { // 辅助数组 int[] help = new int[r - l + 1]; int ls = l; int rs = mid + 1; int i = 0; while (ls <= mid && rs <= r) { // 谁小拷贝谁到辅助数组中。 if (arr[ls] < arr[rs]) { help[i++] = arr[ls++]; } else { help[i++] = arr[rs++]; } } // 左边和右边剩余部分直接拷贝到辅助数组中 while (ls <= mid) { help[i++] = arr[ls++]; } while (rs <= r) { help[i++] = arr[rs++]; } i = 0; for (int n : help) { arr[l + (i++)] = n; } } } 合并有序数组
题目描述见LeetCode 88. Merge Sorted Array
本题思路就是归并排序的merge过程，不赘述，代码如下
class Solution { public void merge(int[] nums1, int m, int[] nums2, int n) { int len = m + n; while (m > 0 && n > 0) { if (nums1[m - 1] > nums2[n - 1]) { nums1[--len] = nums1[--m]; } else { nums1[--len] = nums2[--n]; } } while (n > 0) { nums1[--len] = nums2[--n]; } } } 注：本题在 LintCode 中也有，见LintCode 6 · Merge Two Sorted Arrays
在 LintCode 中，对本题有个扩展要求：
如果一个数组很大，另一个数组很小，你将如何优化算法？
对于扩展要求，我们可以用如下方式来优化
即直接查小数组中的元素在大数组中的位置（可以用二分），然后依次填入具体位置
完整代码见
public class Solution { public static int[] mergeSortedArray(int[] A, int[] B) { int m = A.length; int n = B.length; int[] bigger = m >= n ? A : B; int[] smaller = bigger == A ? B : A; int[] helper = new int[m + n]; int from = 0; int to; int index = 0; for (int i = 0; i < smaller.length; i++) { int position = position(smaller[i], bigger, i); helper[position] = smaller[i]; to = position - 1; while (from <= to) { helper[from++] = bigger[index++]; } from = position + 1; } while (from < (m + n)) { helper[from++] = bigger[index++]; } return helper; } // value在bigger的位置是多少 public static int position(int value, int[] bigger, int offset) { int smallerThanMe = 0; int L = 0; int R = bigger.length - 1; while (L <= R) { int mid = L + ((R - L) >> 1); if (bigger[mid] > value) { R = mid - 1; } else if (bigger[mid] < value) { smallerThanMe = (mid + 1); L = mid + 1; } else { smallerThanMe = mid; R = mid - 1; } } return smallerThanMe + offset; } } 计算右侧小于当前元素的个数问题
题目描述见：LeetCode 315. Count of Smaller Numbers After Self
本题也是利用了归并排序的merge过程，由于归并排序是从小到大排序，而我们需要得到某个元素右侧有多少比它小，所以我们还需要将归并排序改成从大到小排序。
以某一次merge过程为例，比如
左侧区间（已排好序）: [5,3,2,1]
右侧区间（已排好序）：[6,4,3,3]
示例图如下
当左侧指针来到s1的时候，右侧指针移动到s2的时候，开始比左侧的值要小，此时可以结算s1位置右侧有几个比它小的元素。
左侧组中比 s1 更小的元素个数 + (r - s2 + 1) 完整代码见：
class Solution { public static class Node { public int value; public int index; public Node(int index, int value) { this.value = value; this.index = index; } } // 思路转换为：一个数的右边有多少个数比它小！ // 改归并排序（从大到小） public static List<Integer> countSmaller(int[] nums) { List<Integer> result = new ArrayList<>(nums.length); Node[] nodes = new Node[nums.length]; for (int i = 0; i < nums.length; i++) { result.add(0); nodes[i] = new Node(i, nums[i]); } process(nodes, 0, nums.length - 1, result); return result; } private static void process(Node[] nodes, int l, int r, List<Integer> result) { if (l == r) { return; } int m = l + ((r - l) >> 1); process(nodes, l, m, result); process(nodes, m + 1, r, result); merge(nodes, l, m, r, result); } private static void merge(Node[] nodes, int l, int m, int r, List<Integer> result) { Node[] help = new Node[r - l + 1]; int s1 = l; int s2 = m + 1; int index = 0; while (s1 <= m && s2 <= r) { if (nodes[s1].value > nodes[s2].value) { result.set(nodes[s1].index, result.get(nodes[s1].index) + r - s2 + 1); help[index++] = nodes[s1++]; } else if (nodes[s1].value < nodes[s2].value) { help[index++] = nodes[s2++]; } else { help[index++] = nodes[s2++]; } } while (s1 <= m) { help[index++] = nodes[s1++]; } while (s2 <= r) { help[index++] = nodes[s2++]; } for (int i = 0; i < help.length; i++) { nodes[l + i] = help[i]; } } } LintCode上有一个类似的题目，题目描述见：LintCode 532 · Reverse Pairs
本题的思路和上一题一致，都是先将归并排序改成从大到小排序，然后在merge过程中，求一个数右侧有几个数比它小，不赘述，代码见：
public class Solution { public static long reversePairs(int[] A) { if (null == A || A.length < 2) { return 0; } return process(A, 0, A.length - 1); } private static long process(int[] a, int l, int r) { if (l == r) { return 0L; } int m = l + ((r - l) >> 1); return process(a, l, m) + process(a, m + 1, r) + merge(a, l, m, r); } private static long merge(int[] a, int l, int m, int r) { int[] help = new int[r - l + 1]; int index = 0; int s1 = l; int s2 = m + 1; long ans = 0L; while (s1 <= m && s2 <= r) { if (a[s1] < a[s2]) { help[index++] = a[s2++]; } else if (a[s1] > a[s2]) { ans += (r - s2 + 1); help[index++] = a[s1++]; } else { help[index++] = a[s2++]; } } while (s1 <= m) { help[index++] = a[s1++]; } while (s2 <= r) { help[index++] = a[s2++]; } index = 0; for (int n : help) { a[l + (index++)] = n; } return ans; } } 翻转对问题
题目描述见：LeetCode 493. Reverse Pairs
本题也是利用merge过程，不同于上述两个问题，本题在merge两个区间之前，就要先统计一下num[i] > 2 * num[j]的数量。
完整代码见：
class Solution { public static int reversePairs(int[] A) { if (null == A || A.length < 2) { return 0; } int size = A.length; return process(A, 0, size - 1); } public static int process(int[] a, int l, int r) { if (l == r) { return 0; } int m = l + ((r - l) >> 1); return process(a, l, m) + process(a, m + 1, r) + merge(a, l, m, r); } public static int merge(int[] a, int l, int m, int r) { // 先执行统计 int ans = 0; int s1 = l; int s2 = m + 1; while (s1 <= m && s2 <= r) { if ((long) a[s1] - (long) a[s2] > (long) a[s2]) { ans += (r - s2 + 1); s1++; } else { s2++; } } // 以下是经典mergesort排序 int[] help = new int[r - l + 1]; s1 = l; s2 = m + 1; int index = 0; while (s1 <= m && s2 <= r) { if (a[s1] < a[s2]) { help[index++] = a[s2++]; } else if (a[s1] > a[s2]) { help[index++] = a[s1++]; } else { help[index++] = a[s2++]; } } while (s1 <= m) { help[index++] = a[s1++]; } while (s2 <= r) { help[index++] = a[s2++]; } index = 0; for (int n : help) { a[l + (index++)] = n; } return ans; } } 区间和的个数问题
题目描述见：LeetCode 327. Count of Range Sum
本题有几个优化点：
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由于需要快速得到区间和，所以，可以通过前缀和数组来加速区间和的求法。
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在
merge过程中，由于存在单调性，所以可以通过滑动窗口的方式，定位到区间和的上下界，整个过程不回退，所以不会增加归并排序的整体时间复杂度。
完整代码和注释见
class Solution { public static int countRangeSum(int[] nums, int lower, int upper) { int size = nums.length; // 前缀和数组加速求区间的和！！ long[] preSum = new long[size]; preSum[0] = nums[0]; for (int i = 1; i < size; i++) { preSum[i] = nums[i] + preSum[i - 1]; } return p(preSum, 0, size - 1, lower, upper); } public static int p(long[] preSum, int i, int j, int lower, int upper) { if (i == j) { if (preSum[i] >= lower && preSum[j] <= upper) { return 1; } return 0; } int mid = i + ((j - i) >> 1); return p(preSum, i, mid, lower, upper) + p(preSum, mid + 1, j, lower, upper) + merge(preSum, i, mid, j, lower, upper); } private static int merge(long[] preSum, int i, int mid, int j, int lower, int upper) { // 单调性->滑动窗口 int pair = 0; int L = i; int R = i; int S = mid + 1; // 区间和存在单调性，使用滑动窗口定位上下界，不回退，所以O(logN) while (S <= j) { long max = preSum[S] - lower; long min = preSum[S] - upper; while (L <= mid && preSum[L] < min) { L++; } while (R <= mid && preSum[R] <= max) { R++; } pair += (R - L); S++; } // mergeSort经典代码 long[] helper = new long[j - i + 1]; int l = i; int r = mid + 1; int index = 0; while (l <= mid && r <= j) { if (preSum[l] > preSum[r]) { helper[index++] = preSum[r++]; } else { helper[index++] = preSum[l++]; } } while (l <= mid) { helper[index++] = preSum[l++]; } while (r <= j) { helper[index++] = preSum[r++]; } int k = 0; for (long num : helper) { preSum[i + (k++)] = num; } return pair; } } 
