深入剖析多重背包问题(上篇)

深入剖析多重背包问题(上篇)

前言

在前面的两篇文章当中,我们已经仔细的讨论了01背包问题完全背包问题,在本篇文章当中将给大家介绍另外一种背包问题——多重背包问题,多重背包问题的物品数量介于01背包问题完全背包问题之间,他的物品的数量是有限个!

多重背包问题介绍

(N) 种物品和一个容量是 (V) 的背包。第 (i) 种物品最多有 (s_i) 件,每件体积是 (v_i),价值是 (w_i)。求解将哪些物品装入背包,可使物品体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。

注意:上面使用到的字符含义在本篇文章当中都一样。

多重背包问题跟01背包完全背包的区别都是在物品的可用次数上,01背包只能使用一次,多重背包可以使用无数次,而多重背包可以使用多次。

背包问题复习——01背包的动态转移方程

01背包的动态转移方程

01背包问题当中,我们是使用一个二维数组dp[i][j]进行计算,dp[i][j]表示在只使用前i个物品且背包容量为j的情况下,我们能够获得的最大的收益。在这个情况下,我们根据当前背包容量j判断是否能装入第i个物品可以得到下面两个方程:

[dp[i][j] = begin{cases} max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j]), j ge v[i]\ dp[i - 1][j] , j lt v[i] end{cases} ]

上面01背包的公式的第二条比较简单,如果背包容量不足以容纳第i件物品,那么只能从前i - 1物品当中选择了。我们来仔细分析一下第一条公式。

如果当前背包容量可以容纳第i个物品,那么我们就可以选择第i件物品或者不选择,我们应该选择两种选择当中收益更大的那个。

  • 如果我们不选择第i个物品,那么我们就能够使用容量为j的背包去选择前i - 1个物品,这种情况下我们的最大收益为dp[i - 1][j]
  • 如果选择第i个物品,那么我们背包容量还剩下j - v[i],还可以选择剩下的i - 1个物品,而且我们的收益需要加上w[i],因此我们的收益为max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j])

将多重背包转化成01背包

多重背包的问题当中,我们对于一种物品我们可以使用多次,比说(A)物品我们可以用三次。事实上我们可以将多重背包转化成01背包,比如我们可以将三个(A)物品变成三个不同的物品,所谓不同就是他们的名字不一样,但是他们的价值和体积都是一样的,假设(A)的体积为(V_a),价值为(W_a),能够使用的次数为3次,那么我们可以将其转化成(A_1)(A_2)(A_3),这三个物品的体积和价值均为(V_a)(W_a),这样的话(A)可以使用3次就转化成了(A_1)(A_2)(A_3)均只能使用一次。通过这种转换我们就将多重背包转化成了01背包

多重背包Java代码:

import java.util.ArrayList; import java.util.Scanner;  public class Main {     public static void main(String[] args) {         Scanner scanner = new Scanner(System.in);         int N = scanner.nextInt();         int V = scanner.nextInt();         ArrayList<Integer> v = new ArrayList<>();         ArrayList<Integer> w = new ArrayList<>();         for (int i = 0; i < N; i++) {             int vi = scanner.nextInt();             int wi = scanner.nextInt();             int t = scanner.nextInt();             for (int j = 0; j < t; j++) {                 v.add(vi);                 w.add(wi);             }         }         int[][] dp = new int[v.size() + 1][V+ 1];          // 对第0行进行初始化操作         for (int i = v.get(0); i <= V; ++i) {             dp[0][i] = w.get(0);         }          for (int i = 1; i < v.size(); ++i) {             for (int j = 0; j <= V; ++j) {                 if (j >= v.get(i)) {                     dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j],                                         dp[i - 1][j - v.get(i)] + w.get(i));                 }                 else {                     dp[i][j] = dp[i - 1][j];                 }             }         }         System.out.println(dp[v.size() - 1][V]);     } } 

和01背包一样,我们对多重背包也可以使用单行数组进行优化:

import java.util.ArrayList; import java.util.Scanner;  public class Main {     public static void main(String[] args) {         Scanner scanner = new Scanner(System.in);         int N = scanner.nextInt();         int V = scanner.nextInt();         ArrayList<Integer> v = new ArrayList<>();         ArrayList<Integer> w = new ArrayList<>();         for (int i = 0; i < N; i++) {             int vi = scanner.nextInt();             int wi = scanner.nextInt();             int t = scanner.nextInt();             for (int j = 0; j < t; j++) {                 v.add(vi);                 w.add(wi);             }         }         int[] f = new int[V + 1];         for (int i = 0; i < v.size(); i++) {             for (int j = V; j >= v.get(i); j--) {                 f[j] = Math.max(f[j], f[j - v.get(i)] + w.get(i));             }         }         System.out.println(f[V]);     } }  

多重背包动态转移方程

在背包容量足够的情况下,01背包的动态转移方程为:

[dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j]), j ge v[i] ]

上述的动态转移方程是基于每个物品选和不选,那么对于多重背包来说,如果物品可以选择(S)次,我们可以选择0次,可以选择1次,......,可以选择(S)次,我们就需要从这些情况当中选择收益最大的那次(前提是背包能够容纳下相应次数的物品),因此多重背包的动态转移方程如下( (T = min(S, frac{V}{v_i})),其中(S)表示物品能够选择的次数,(v_i)表示物品的体积,(V)表示当前背包的容量):

[dp[i][j] = max\ { \ dp[i - 1][j], \ dp[i - 1][j - v[i]] + w[i],\ dp[i - 1][j - v[i] * 2] + w[i] * 2, \ ..., \ dp[i - 1][j - v[i] * T] + w[i] * T\ } ]

基于上面的动态转移方程我们可以得到下面的代码:

import java.util.Scanner;  public class Main {     public static void main(String[] args) {         Scanner scanner = new Scanner(System.in);         int N = scanner.nextInt();         int V = scanner.nextInt();         int[] w = new int[N];         int[] v = new int[N];         int[] t = new int[N];         int[] f = new int[V + 1];         for (int i = 0; i < N; i++) {             v[i] = scanner.nextInt();             w[i] = scanner.nextInt();             t[i] = scanner.nextInt();         }         for (int i = 0; i < N; i++) {             for (int j = V; j >= v[i]; --j) {                 // 这个循环就表示多重背包的动态转移公式了                 // 在这段代码当中虽然 Math.max的参数只有量                 // 但是有一段循环,将这个循环展开,他表示的                 // 就是多重背包的动态转移方程                 for (int k = 1; k <= t[i] && j >= v[i] * k; k++) {                     f[j] = Math.max(f[j], f[j - v[i] * k] + w[i] * k);                 }             }         }         System.out.println(f[V]);     } } 

总结

在本篇文章当中主要跟大家介绍了多重背包的两种解决办法,一种是将多重背包转化成01背包,另外一种方法是根据多重背包的动态转移方程去解决问题,可以看出后者的空间复杂度更低,更节约内存空间。下期我们用另外一种方法去优化多重背包

以上就是本篇文章的所有内容了,希望大家有所收获,我是LeHung,我们下期再见!!!


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