论文解读（AGE)《Adaptive Graph Encoder for Attributed Graph Embedding》

论文信息

论文标题：Adaptive Graph Encoder for Attributed Graph Embedding
论文作者：Gayan K. Kulatilleke, Marius Portmann, Shekhar S. Chandra
论文来源：2020, KDD
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1 Introduction

　　基于 GCN 的方法有三个主要缺点：

• • 图卷积滤波器和权值矩阵的纠缠会损害其性能和鲁棒性；
  • 图卷积滤波器是广义拉普拉斯平滑滤波器的特殊情况，但没有保持最优的低通特性；
  • 现有算法的训练目标通常是恢复邻接矩阵或特征矩阵，处理与现实不符；

　　AGE 由两个模块组成：

• • 拉普拉斯平滑滤波器；
  • 自适应编码器；

　　首先，一个GCN 编码器由多个图卷积层组成，每一层包含一个图卷积滤波器 $H$、一个权值矩阵 ($W_1$、$W_2$) 和一个激活函数。[35] 证明，滤波器和权值矩阵的纠缠并没有为半监督图表示学习提供性能增益，甚至损害了训练效率，因为它加深了反向传播的路径。

　　 

　　其次，考虑图卷积滤波器， [18] 在理论上表明，它们实际上是应用于低通去噪的特征矩阵上的拉普拉斯平滑滤波器 [28]。本文证明了现有的图卷积滤波器并不是最优的低通滤波器，因为它们不能过滤某些高频噪声。因此，它们不能达到最好的平滑效果。

　　最后，本文认为这些算法的训练目标（重建邻接矩阵 [23,31] 或特征矩阵 [24,32]）与现实应用不兼容。具体来说，重构邻接矩阵是将邻接矩阵设为地面真值成对相似度，但不适合于缺乏特征信息的情况。然而，恢复特征矩阵将迫使模型记住特征中的高频噪声，因此也是不合适的。

2 Method

　　整体框架：

　　 

　　组成部分：

• • a Laplacian smoothing filter
    • Laplacian Smoothing Filter: The designed filter $H$ serves as a low-pass filter to denoise the high-frequency components of the feature matrix  $mathrm{X}$ . The smoothed feature matrix  $tilde{mathrm{X}}$  is taken as input of the adaptive encoder.
      
  • an adaptive encoder
    • Adaptive Encoder: To get more representative node embeddings, this module builds a training set by adaptively selecting node pairs which are highly similar or dissimilar. Then the encoder is trained in a supervised manner.　　

2.1 Laplacian Smoothing Filter

　　基本假设：图上邻居节点具有相似性。

2.1.1 Analysis of Smooth Signals

　　从图信号处理的角度来解释图平滑。以 $mathbf{x} in mathbb{R}^{n}$ 作为图信号，每个节点被分配一个值向量。为测量图信号 $x$ 的平滑度，可以计算出图拉普拉斯矩阵 $L$ 和 $x$ 上的瑞利商：

　　　　${large R(mathbf{L}, mathbf{x})=frac{mathbf{x}^{boldsymbol{top}} mathbf{L} mathbf{x}}{mathbf{x}^{top} mathbf{x}}=frac{sumlimits_{(i, j) in mathcal{E}}left(x_{i}-x_{j}right)^{2}}{sumlimits_{i in mathcal{V}} x_{i}^{2}}}  quadquadquad(1)$

　　PS：拉普拉斯矩阵的性质

　　$begin{aligned}f^{T} L f &=f^{T} D f-f^{T} W f \&=sum limits_{i=1}^{N} d_{i} f_{i}^{2}-sum limits_{i=1}^{N} sum limits_{j=1}^{N} w_{i j} f_{i} f_{j} \&=frac{1}{2}left(sum limits_{i=1}^{N} d_{i} f_{i}^{2}-2 sum limits_{i=1}^{N} sum limits_{j=1}^{N} w_{i j} f_{i} f_{j}+sum limits_{j=1}^{N} d_{j} f_{j}^{2}right) \&=frac{1}{2}left(sum limits_{i=1}^{N} sum limits_{j=1}^{N} w_{i j} f_{i}^{2}-2 sum limits_{i=1}^{N} sum limits_{j=1}^{N} w_{i j} f_{i} f_{j}+sum limits_{i=1}^{N} sum limits_{j=1}^{N} w_{i j} f_{j}^{2}right) \&=frac{1}{2} sum limits_{i=1}^{N} sum limits_{j=1}^{N} w_{i j}left(f_{i}-f_{j}right)^{2}end{aligned}$

　　$text{Eq.1}$ 显然是 $x$ 的标准化方差分数。平滑信号应该在相邻节点上分配相似的值。因此，假设瑞利商较低的信号更平滑，接着给出特征向量 $u_i$ 的光滑性度量：

　　　　${large Rleft(mathbf{L}, mathbf{u}_{i}right)=frac{mathbf{u}_{i}^{top} mathbf{L} mathbf{u}_{i}}{mathbf{u}_{i}^{top} mathbf{u}_{i}}=lambda_{i}}  quadquadquad(2)$

　　$text{Eq.2}$ 表示平滑的特征向量与较小的特征值相关联，即较低的频率。因此，基于$text{Eq.1}$、$text{Eq.2}$   $L$ 分解信号 $x$):

　　　　$mathbf{x}=mathbf{U p}=sumlimits _{i=1}^{n} p_{i} mathbf{u}_{i} quadquadquad(3)$

　　其中 $p_{i}$ 是特征向量 $mathbf{u}_{i}$ 的系数，那么 $x$ 的平滑度是：

　　　　${large R(mathbf{L}, mathbf{x})=frac{mathbf{x}^{top} mathbf{L} mathbf{x}}{mathbf{x}^{top} mathbf{x}}=frac{sum limits_{i=1}^{n} p_{i}^{2} lambda_{i}}{sum limits_{i=1}^{n} p_{i}^{2}}  }   quadquadquad(4)$

　　因此，为获得更平滑的信号，本文滤波器的目标是在保留低频分量的同时滤掉高频分量。

2.1.2 Generalized Laplacian Smoothing Filter

　　如[28]所述，广义拉普拉斯平滑滤波器为：

　　　　$mathbf{H}=mathbf{I}-k mathbf{L}    quadquadquad(5)$

　　采用 $mathbf{H}$ 作为滤波器矩阵，滤波后的信号 $tilde{mathbf{x}}$ 为：

　　　　${large tilde{mathbf{x}}=mathbf{H x}=mathbf{U}(mathbf{I}-k Lambda) mathbf{U}^{-1} mathbf{U p}=sum limits_{i=1}^{n}left(1-k lambda_{i}right) p_{i} mathbf{u}_{i}=sum limits_{i=1}^{n} p^{prime} mathbf{u}_{i}  } quadquadquad(6)$

　　因此，为实现低通滤波(low-pass filtering)，频率响应函数 $1-k lambda$ 应是一个递减和非负函数。叠加 $t$ 次拉普拉斯平滑滤波器，将滤波后的特征矩阵 $tilde{mathbf{X}}$ 表示为

　　　　$tilde{mathbf{X}}=mathbf{H}^{t} mathbf{X}   quadquadquad(7)$

　　请注意，该过滤器根本是非参数化的。

2.1.3  The Choice of k

　　在实践中，使用重整化技巧 $tilde{mathrm{A}}=mathrm{I}+mathbf{A}$，采用对称归一化图拉普拉斯矩阵

　　　　$tilde{mathbf{L}}_{s y m}=tilde{mathbf{D}}^{-frac{1}{2}} tilde{mathbf{L}} tilde{mathbf{D}}^{-frac{1}{2}}   quadquadquad(8)$

　　此时滤波器为：

　　　　$mathbf{H}=mathbf{I}-k tilde{mathbf{L}}_{s y m}  quadquadquad(9)$

　　注意，如果设置 $k=1$，滤波器将成为 GCN 滤波器。
　　为选择最优 $k$，需要计算特征值 $tilde{Lambda}$ 的分布（由 $tilde{mathbf{L}}_{s y m}=tilde{mathbf{U}} tilde{Lambda} tilde{U}^{-1}$ 分解得到）。

　　$tilde{mathbf{x}}$ 的平滑度是

　　　　${large R(mathbf{L}, tilde{mathbf{x}})=frac{tilde{mathbf{x}}^{top} mathbf{L} tilde{mathbf{x}}}{tilde{mathbf{x}} boldsymbol{tilde { mathbf { x } }}}=frac{sum_{i=1}^{n} p^{prime}{ }_{i}^{2} lambda_{i}}{sum_{i=1}^{n} p^{prime}{ }_{i}^{2}}}  quadquadquad(10)$

　　因此，$p^{prime}{ }_{i}^{2}$ 应随 $lambda_{i}$ 的增加而减少。将最大特征值表示为 $lambda_{max }$，理论上，如果 $k>1 / lambda_{max }$ ，滤波器在 $left(1 / k, lambda_{max }right]$ 内不是低通，因为 $p^{prime}{ }_{i}^{2}$ 在这个间隔内增加；如果 $k<1 / lambda_{max }$ 该滤波器不能使去出高频噪声部分。因此，$k=1 / lambda_{max }$ 是最优选择。

　　[7] 证明了拉普拉斯特征值的范围在 $text{0~2}$ 之间，因此GCN滤波器在 $(1,2]$ 区间内不是低通的。工作 [31] 相应地选择了 $k=1/2$，然而，我们的实验表明，在重整化后，最大特征值 $lambda_{max }$ 将缩小到 $3/2$ 左右，这使得 $1/2$ 不是最优。在实验中，我们计算每个数据集的 $lambda_{max }$，并设置 $k=1 / lambda_{max }$，并进一步分析了不同 $k$ 值的影响。

3 Adaptive Encoder

　　通过 $t$ 层拉普拉斯平滑过滤，输出特征更平滑，保持丰富的属性信息。本文自适应地选择高相似度的节点对作为正训练样本，而低相似度的节点对作为负训练样本。

　　给定过滤后的节点特征 $tilde{mathbf{X}}$，节点嵌入由线性编码器 $f$ 进行编码：

　　　　$mathbf{Z}=f(tilde{mathbf{X}} ; mathbf{W})=tilde{mathbf{X}} mathbf{W}  quadquadquad(11)$

　　其中，$mathbf{W}$ 是权重矩阵。然后，为度量节点的成对相似度，利用余弦相似度。相似度矩阵 $S$ 为：

　　　　$mathrm{S}=frac{mathrm{ZZ}^{boldsymbol{T}}}{|mathrm{Z}|_{2}^{2}}   quadquadquad(12)$

　　接下来，我们将详细描述我们的训练样本选择策略。

3.1 Training Sample Selection.

　　在计算相似矩阵后，对相似序列按降序排列。这里 $r_{i j}$ 是节点对的排序位置  $left(v_{i}, v_{j}right)$。然后将正样本的最大排序位置设为 $r_{p o s}$，将负样本的最小排序位置设为 $r_{n e g}$。因此，为节点对 $left(v_{i}, v_{j}right)$ 生成的标签为

　　$l_{i j}=left{begin{array}{ll}1 & r_{i j} leq r_{p o s} \0 & r_{i j}>r_{n e g} \text { None } & text { otherwise }end{array}right.   quadquadquad(13)$

　　这样，构造了一个包含  $r_{text {pos }}$  个正样本和  $n^{2}-r_{n e g}$  个负样本的训练集。在第一次构造训练集时，由于编码器没有被认训练， 直接使用平滑的特征来初始化  $mathbf{S}$  :

　　　　$mathbf{S}=frac{widetilde{mathbf{X}} widetilde{mathbf{X}}^{mathbf{T}}}{|widetilde{mathbf{X}}|_{2}^{2}}   quadquadquad(14)$

　　构造好训练集后，可以用监督的方式训练编码器。在真实世界的图中，不相似的节点对总是远远多于正节点对，因此在训 练集中选择多于  $r_{p o s}$  个负样本。为了平衡正/负样本，在每次迭代中随机选择  $r_{p o s}$  个负样本。平衡训练集用  $mathcal{O}$  表示。因 此，交叉熵损失表示如下:

　　　　$mathcal{L}=sum limits_{left(v_{i}, v_{j}right) in O}-l_{i j} log left(s_{i j}right)-left(1-l_{i j}right) log left(1-s_{i j}right)   quadquadquad(15)$

3.2 Thresholds Update

　　本文为 $r_{p o s}$ 和 $r_{n e g}$ 设计了一个特定的更新策略来控制训练集的大小。在训练开始时，选择更多的样本为编码器寻找粗化的聚类。之后，保留具有更高置信度的样本进行训练，将迫使编码器捕获细化的聚类。

　　在实践中，随着训练过程的进行，$r_{text {pos }}$ 减少，而 $r_{n e g}^{s t}$ 呈线性增加。将初始阈值设置为 $r_{text {pos }}^{s t}$ 和 $r_{n e g}^{s t}$，最终阈值设置为 $r_{text {pos }}^{e d}$ 和 $r_{n e g}^{e d}$ 。有 $r_{text {pos }}^{e d} leq r_{text {pos }}^{s t}$ 和 $r_{n e g}^{e d} geq r_{text {neg. }}^{s t}$。假设阈值被更新为 $T$次，我们将更新策略表示为

　　　　${large r_{text {pos }}^{prime}=r_{p o s}+frac{r_{text {pos }}^{e d}-r_{text {pos }}^{s t}}{T}}     quadquadquad(16)$

　　　　${large r_{n e g}^{prime}=r_{n e g}+frac{r_{n e g}^{e d}-r_{n e g}^{s t}}{T}}      quadquadquad(17)$

　　随着训练过程的进行，每次阈值更新时，都会重建训练集并保存嵌入。

　　对于节点聚类，我们对保存嵌入的相似矩阵进行谱聚类[22]，利用戴维斯堡丁索引[8](DBI)选择最佳时期，在没有标签信息的情况下测量聚类质量。对于链路预测，我们在验证集上选择执行得最好的历元。Algorithm 1 给出了计算嵌入矩阵 $Z$ 的总体过程。

　　

4 Experiments

数据集

　　

节点聚类

　　 

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