数据结构篇——KMP算法
本次我们介绍数据结构中的KMP算法，我们会从下面几个角度来介绍：
- 问题介绍
- 暴力求解
- 知识补充
- Next示例
- Next代码
- 匹配示例
- 匹配代码
- 完整代码
问题介绍
首先我们先介绍适用于KMP算法的问题：
- 给定一个字符串S，以及一个模式串P,所有字符串中只包含大小写英文字母以及阿拉伯数字。
- 模式串P在字符串S中多次作为子串出现。
- 求出模式串P在字符串S中所有出现的位置的起始下标。
我们给出一个问题的简单示例：
// 输入 p长度 p s长度 s 3 aba 5 ababa // 输出结果 0 2 暴力求解
所有问题我们都是在暴力求解的基础上进行更新迭代的，所以我们首先给出暴力求解：
// 下面为伪代码，只是起到思路作用 // 首先我们需要创造s[],p[]，并赋值 S[N],P[N] // 然后我们开始匹配，我们会从S的第一个字符开始匹配，设置一个flag判断该字符开始的字符串是否与P字符匹配 // 该算法从每个i开始，全部进行匹配 for(int i = 1;i <= n;i++ ){ boolean flag = true; for(int j = 1;j <= m;j++){ if(s[i+j-1] != p[j]){ flag = false; break; } } } // 我们给出一套完整的暴力求解方法 /** * 暴力破解法 * @param ts 主串 * @param ps 模式串 * @return 如果找到，返回在主串中第一个字符出现的下标，否则为-1 */ public static int bf(String ts, String ps) { char[] t = ts.toCharArray(); char[] p = ps.toCharArray(); int i = 0; // 主串的位置 int j = 0; // 模式串的位置 while (i < t.length && j < p.length) { if (t[i] == p[j]) { // 当两个字符相同，就比较下一个 i++; j++; } else { i = i - j + 1; // 一旦不匹配，i后退（从之前i的下一位开始，也是遍历所有i） j = 0; // j归0 } } // 当上面循环结束，必定是i到头或者j到头，如果是j到头，则说明存在子串符合父串，我们就将头位置i返回 if (j == p.length) { return i - j; } else { return -1; } } // 但是我们会发现：我们可以不让i回退而是让j回退，使j回退到能够与当前i相匹配的点位，然后继续进行主串和模式串的匹配 首先我们会发现这个算法的时间复杂度为O(n^2)
我们其中可以优化的点就是i的位置更新，我们可以根据p字符串的特性来判断i在失败后最近可以移动到哪个点位！
知识补充
我们为了学习KMP算法，我们需要补充一些下面会用到的知识：
- s[ ]是模式串，即比较长的字符串。
- p[ ]是模板串，即比较短的字符串。（这样可能不严谨。。。）
- “非平凡前缀”：指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合。
- “非平凡后缀”：指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。（后面会有例子，均简称为前/后缀）
- “部分匹配值”：前缀和后缀的最长共有元素的长度。
- next[ ]是“部分匹配值表”，即next数组，它存储的是每一个下标对应的“部分匹配值”，是KMP算法的核心。（后面作详细讲解）。
我们所用到的思想是：
- 在每次失配时，不是把p串往后移一位，而是把p串往后移动至下一次可以和前面部分匹配的位置，这样就可以跳过大多数的失配步骤
- 而每次p串移动的步数就是通过查找next[ ]数组确定的
Next示例
我们给出一个简单的Next示例：
// 首先我们给出一个next手写实例 /* 模板串为：ABABAA next[0]代表t[0]-t[0]，即"A" , "A"的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0. next[1]代表t[0]-t[1]，即"AB"，前缀为“A”，后缀为“B”,共有元素的长度为0.. next[2]代表t[0]~t[2]，即"ABA"，前缀为“AB"，后缀为"BA"，最大前后缀即"A",长度为1. next[3]代表t[0]~t[3]，即"ABAB"，前缀为"ABA"后缀为"BAB”,最大前后缀即"AB ",长度为2. next[4]代表t[0]~t[4]，即"ABABA",前缀为"ABAB"，后缀为"BABA",最大前后缀即" ABA",长度为3. next[5]代表t[0]-t[5]，即" ABABAA",前缀为“ABABA",T后缀为“BABAA";最大前后缀即"A",长度为1. */ // 我们next的作用是使next[j]=k使 P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]、 // 当第n个数不匹配时，我们让j回退到k，这时我们的主串和模式串的前缀还属于匹配状态，我们继续进行匹配 例如 ababc 我们如果匹配到c不符合时，我们可以使j回退到k（这里的k是2，即a）再继续进行匹配 因为我们的c前面的ab和开头的ab是匹配的，我们主串中的i前面肯定也是ab，我们的l前面也是ab，所以两者匹配，我们可以继续后面的匹配 相当于我们的x不变，我们将j放在2的位置，前面的ab已完成匹配，我们只需要匹配abc即可 // 公式书写就是下述： 当T[i] != P[j]时 有T[i-j ~ i-1] == P[0 ~ j-1] 由P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1] 必然：T[i-k ~ i-1] == P[0 ~ k-1] Next代码
我们给出求解Next的代码展示：
public static int[] getNext(String ps) { char[] p = ps.toCharArray(); int[] next = new int[p.length]; // 这里的next[0]需要等于-1 // 因为j在最左边时，不可能再移动j了，这时候要应该是i指针后移。所以在代码中才会有next[0] = -1;这个初始化。 next[0] = -1; // 这里设置j的初始值从第一个开始（我们需要得到全部next数组） int j = 0; // 这里设置k，k就是应该返回的位置，也就是我们常说的前缀和后缀匹配区域的前缀的后一个位置 int k = -1; // 进行循环，得到next数组 while (j < p.length - 1) { // 首先是k==-1时，说明前面已无匹配状态，我们重新开始 // 然后是p[j] == p[k]，说明循环时新添加的值，与我们应该返回比对的位置相同 // 同时由于我们之前的部分都是已经匹配成功的，所以加上这个数使我们的匹配长度又增加一位 if (k == -1 || p[j] == p[k]) { // 当两个字符相等时要跳过（因为p[k]与S[i]不符合的话，由于我们的p[j]=p[k]，所以肯定也不符合，我们直接跳下一步） if (p[++j] == p[++k]) { next[j] = next[k]; } else { // 因为在P[j]之前已经有P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]。（next[j] == k） // 这时候现有P[k] == P[j]，我们是不是可以得到P[0 ~ k-1] + P[k] == p[j-k ~ j-1] + P[j]。 // 即：P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]，即next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1 // 前面我们已经进行了j++和k++，所以这里直接赋值即可 next[j] = k; } } else { // 如果当前状态无法匹配，我们就跳回上一个前缀后缀相同部分再来判断是否前后缀相同 k = next[k]; } } return next; } 匹配示例
我们给出简单的匹配示例：
// 匹配相对而言就比较简单了 主串：abababc 模式串：abc 我们首先进行i++，j++范围的匹配，当第三位，即a和c匹配不成功时，我们不移动i，而是移动j 我们将j=2,移动到j=0,即next[2]的位置，在之后一直匹配并再对j进行一次移动，到最后匹配成功为止 匹配代码
我们给出对应的匹配代码：
/*该代码实际上是由暴力求解代码改造过来的*/ public static int KMP(String ts, String ps) { char[] t = ts.toCharArray(); char[] p = ps.toCharArray(); int i = 0; // 主串的位置 int j = 0; // 模式串的位置 int[] next = getNext(ps); // 开始判断（设置边界值） while (i < t.length && j < p.length) { // 当j为-1时，要移动的是i，当然j也要归0 // 如果匹配成功，两者都进行移动，开始下一位比对 if (j == -1 || t[i] == p[j]) { i++; j++; } else { // 如果比对失败，我们将 j 返回next数组指定位置继续匹配 // i不需要回溯了 // i = i - j + 1; j = next[j]; // j回到指定位置 } } // 最后同样进行判断，是否符合条件 if (j == p.length) { return i - j; } else { return -1; } } 完整代码
最后为大家展示一下完整代码：
import java.util.Scanner; class ppp { /** * 主代码 * @param args */ public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); String ts = scanner.nextLine(); String ps = scanner.nextLine(); int kmp = KMP(ts, ps); System.out.println(kmp); } /** * kmp算法 * @param ts * @param ps * @return */ public static int KMP(String ts, String ps) { char[] t = ts.toCharArray(); char[] p = ps.toCharArray(); int i = 0; // 主串的位置 int j = 0; // 模式串的位置 int[] next = getNext(ps); // 开始判断（设置边界值） while (i < t.length && j < p.length) { // 当j为-1时，要移动的是i，当然j也要归0 // 如果匹配成功，两者都进行移动，开始下一位比对 if (j == -1 || t[i] == p[j]) { i++; j++; } else { // 如果比对失败，我们将 j 返回next数组指定位置继续匹配 // i不需要回溯了 // i = i - j + 1; j = next[j]; // j回到指定位置 } } // 最后同样进行判断，是否符合条件 if (j == p.length) { return i - j; } else { return -1; } } /** * next数组求解 * @param ps * @return */ public static int[] getNext(String ps) { char[] p = ps.toCharArray(); int[] next = new int[p.length]; // 这里的next[0]需要等于-1 // 因为j在最左边时，不可能再移动j了，这时候要应该是i指针后移。所以在代码中才会有next[0] = -1;这个初始化。 next[0] = -1; // 这里设置j的初始值从第一个开始（我们需要得到全部next数组） int j = 0; // 这里设置k，k就是应该返回的位置，也就是我们常说的前缀和后缀匹配区域的前缀的后一个位置 int k = -1; // 进行循环，得到next数组 while (j < p.length - 1) { // 首先是k==-1时，说明前面已无匹配状态，我们重新开始 // 然后是p[j] == p[k]，说明循环时新添加的值，与我们应该返回比对的位置相同 // 同时由于我们之前的部分都是已经匹配成功的，所以加上这个数使我们的匹配长度又增加一位 if (k == -1 || p[j] == p[k]) { // 当两个字符相等时要跳过 //（因为p[k]与S[i]不符合的话，由于我们的p[j]=p[k]，所以肯定也不符合，我们直接跳下一步） if (p[++j] == p[++k]) { next[j] = next[k]; } else { // 因为在P[j]之前已经有P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]。（next[j] == k） // 这时候现有P[k] == P[j]，我们是不是可以得到P[0 ~ k-1] + P[k] == p[j-k ~ j-1] + P[j]。 // 即：P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]，即next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1 // 前面我们已经进行了j++和k++，所以这里直接赋值即可 next[j] = k; } } else { // 如果当前状态无法匹配，我们就跳回上一个前缀后缀相同部分再来判断是否前后缀相同 k = next[k]; } } return next; } } 结束语
好的，关于数据结构篇的KMP算法就介绍到这里，希望能为你带来帮助~
