图数据挖掘：级联的概率模型和疾病传播

技术分享 3年前 (2022-11-05) 0 999+

1 导引

在上一篇博客《图数据挖掘：网络中的级联行为》中介绍了用基于决策的模型来对级联行为进行建模，该模型是基于效用(Utility)的且是是确定性的，主要关注于单个节点如何根据其邻居的情况来做决策，需要大量和数据相关的先验信息。这篇博客就让我们来介绍基于概率的模型，这种模型更关注系统整体，不过缺少对个体行为动机的刻画。

2 基于树的流行病模型

接下来我们介绍一种基于随机树的传染病模型，它是分支过程（branching processes）的一种变种。在这种模型中，一个病人可能接触(d)个其他人，对他们中的每一个都有概率(q>0)将其传染，如下图所示：

接下来我们来看当(d)和(q)取何值时，流行病最终会消失（die out），也即满足

[lim _{h rightarrow infty} p_h=0 ]

这里(p_h)为在深度(h)处存在感染节点的概率（是关于(q)和(d)的函数）。如果流行病会永远流行下去，则上述极限应该(>0)。

(p_h)满足递归式：

[p_h=1-left(1-q cdot p_{h-1}right)^d ]

这里(left(1-q cdot p_{h-1}right)^d)表示在距离根节点(h)深度处没有感染节点的概率。

接下来我们通过对函数

[f(x)=1-(1-q cdot x)^d ]

进行迭代来得到(lim _{h rightarrow infty} p_h)。我们从根节点(x=1)(因为(p_1=1))开始，依次迭代得到(x_1=f(1), x_2=f(x_1),x_3=f(x_2))。事实上，该迭代最终会收敛到不动点(f(x)=x)，如下图所示：

这里(x)是在深度(h-1)处存在感染节点的概率，(f(x))是在深度为(h)处存在感染节点的概率，(q)为感染概率，(d)为节点的度。
如果我们想要传染病最终消失，那么迭代(f(x))的结果必须要趋向于(0)，也即不动点需要为0。而这也就意味着(f(x))必须要在(y=x)下方，如下所示：

如何控制(f(x))必须要在(y=x)下方呢？我们先来分析下(f(x))的图像形状，我们有以下结论：

(f(x))是单调的：对(0 leq x, q leq 1, d>1)，(f'(x)=q cdot d(1-q x)^{d-1}>0)，故(f(x))是单调的。

(f'(x))是非增的：(f'(x)=q cdot d(1-q x)^{d-1})会着(x)减小而减小。

而(f(x))低于(y=x)，则需要满足

[f'(0)=qcdot d<1 ]

综上所述，我们有结论：

[lim _{h rightarrow infty} p_h=0 text { when } q cdot d<mathbf{1} ]

这里(R_0=qcdot d)表示每个被感染的个体在期望意义上所产生的新的病体数，我们将其称为基本再生数（reproductive number），它决定了传染病病是否会流行：

若(R_0geq 1): 流行病永远不会消失且感染人数会以指数速度上升。
若(R_0leq 1): 流行病会以指数速度快速消失。

3 SIR与SIS流行病模型

3.1 模型范式

在病毒的传播中，有两个最基本的参数：

出生率(beta) 被已感染邻居攻击的概率
死亡率(delta) 已感染节点治愈的概率

网络中的节点可以在以下四个状态（S+E+I+R）之间做转移：

易感期(susceptible)：节点患病之前，处于容易被邻居传染的时期，也称敏感期。
潜伏期(exposed)：节点已被感染，但是还没具备能力去传染别人。
传染期(infectious)：节点已被感染，且能够以一定的概率把疾病传染给那些处于易感期的邻居，也称感染期。
移除期(removed)：当一个节点经历了完整的传染期，就不再被考虑了，因为它不会再受感染，也不会对其它节点构成威胁，也称隔离期。

状态转移图如下图所示（图中的(Z)表示人工免疫）：

其中状态转移的概率由我们前面提到的模型参数(beta)和(delta)控制。

3.2 SIR模型

在SIR模型中，节点经历S-I-R三个阶段：

事实上，该模型可用于对水痘和鼠疫的建模，也即一旦我治愈了，那我就永远不会再被感染了。

假设模型满足完美混合（即网络是完全图），则模型的动力方程为：

[begin{aligned} &frac{d S}{d t}=-beta S I \ &frac{d R}{d t}=delta I \ &frac{d I}{d t}=beta S I-delta I end{aligned} ]

处于(S)、(I)、(R)状态的节点数量随着时间变化曲线如下图所示：

3.3 SIS模型

SIS模型中节点只有S-I两个阶段，它假设已经治愈的节点会立即变为易感节点。节点的状态转移图如下：

这里我们把(s=frac{beta}{delta})定义为病毒的“力量”（strength）。

该模型可用于对流感的建模，也即已被感染的节点经过治愈后会重新回到易感状态。

同样我们假设模型满足完美混合（即网络是完全图），则模型的动力方程为：

[begin{aligned} &frac{d S}{d t}=-beta S I+delta I \ &frac{d I}{d t}=beta S I-delta I end{aligned} ]

处于(S)、(I)状态的节点数量随着时间变化曲线如下图所示：

3.4 传染阈值

接下来我们考虑SIS模型中的传染阈值(epidemic threshold)(tau)。对于(SIS)模型而言，流行阈值可以是任意的。

我们设图(G)的传染阈值为(tau)。如果病毒的“力量”(s=frac{beta}{delta} < tau)（这里(beta)指病毒的死亡率，(delta)指病毒的出生率），则疾病的流行就不会发生（它最终会消失）。事实上，图(G)的传染阈值(tau)可以表示为

[tau=frac{1}{lambda_{1, A}} ]

这里(lambda_{1, A})为图(G)的邻接矩阵最大的特征值。这个定理看起来非常神奇，因为我们只用(lambda_{1,A})就捕捉到了整个图的属性！

以下是在AS图上，当(s)大于、小于或等于传染阈值(tau)时的感染节点数量随时间变化图：

如果我们再考虑不同的初始感染人数，则会得到以下的感染人数变化图像：

3.5 一个埃博拉的例子

在一个埃博拉的例子^[1]中，设置如下的转换状态：

当设置(R_0=1.5text{-}2.0)时，总死亡人数随时间变化如下：

参考

[1] Gomes M F C, y Piontti A P, Rossi L, et al. Assessing the international spreading risk associated with the 2014 West African Ebola outbreak[J]. PLoS currents, 2014, 6.
[2] http://web.stanford.edu/class/cs224w/
[3] Easley D, Kleinberg J. Networks, crowds, and markets: Reasoning about a highly connected world[M]. Cambridge university press, 2010.
[4] Barabási A L. Network science[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2013, 371(1987): 20120375.

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