1 导引
目前，知识图谱(Knowlege Graph)在医疗、金融等领域都取得了广泛的应用。我们将知识图谱定义为(mathcal{g}={mathcal{E}, mathcal{R}, mathcal{T}})，这里(mathcal{E}=left{e_{i}right}_{i=1}^{n})是由(n)个实体(entity)组成的集合，(mathcal{R}=left{r_{i}right}_{i=1}^{m})是由(m)个关系(relation)组成的集合。元组集合(mathcal{T}={(h, r, t) in mathcal{E} times mathcal{R} times mathcal{E}})则建模了不同实体之间的关系。知识图谱嵌入是知识图谱在应用中非常重要的一步。我们先通过知识图谱嵌入将知识图谱中的实体和关系嵌入到embeddings向量，然后再在下游进行实体分类或者知识图谱补全的任务。
对于知识图谱嵌入任务我们常采用基于负采样的交叉熵函数[1]：
这里((h,r,t))即知识图谱中存在的元组，其对应的负样本((h,r,t^{-}))即图谱中不存在的元组；(sigma)为sigmoid函数；(P_{h}^{-}(mathcal{E}))为实体集(mathcal{E})的负采样分布（可能是关于(h)的），最简单的设置为均匀分布（不过易造成“假阴性结果”，即采样实际上存在于图谱中的负样本，一种改进方法参见[2]）；超参数(gamma>0)。
这里(f_r(h, t))称为Score function。适用于常见经典知识图谱的Score function (f_r(h, t))可以参见下图。
这里(textbf{h}, textbf{r}, textbf{t})是(h, r, t)对应的embeddings。(text{Re}(cdot))表示复值向量的实值部分。(circ)表示逐项乘积（即Hadamard乘积）。
在实际应用中我们常常面临一系列来自不同数据持有方的知识图谱，我们将其称为多源知识图谱（Multi-Source KG）。我们将来自(K)个不同数据持有方的知识图谱集合记为(mathcal{G}=left{g_{k}right}_{k=1}^{K}=left{left{mathcal{E}_{k}, mathcal{R}_{k}, mathcal{T}_{k}right}right}_{k=1}^{K})，按照数据异构程度可分为以下两种形式：
多源同领域
这种类型中各知识图谱的领域(domain)相同，比如都是来自不同银行的用户知识图谱。这些知识图谱中也可能有实体重叠(overlapped)，因为在日常生活中，一个用户很可能在不同银行都产生有相关的数据（元组）[2]。
多源跨领域
这种情况下数据更具有异构性，各个知识图谱之间是跨领域(cross domain)的 ，如下图中所示的大学(university)、文学(literature)和宾夕法尼亚州（pennsylvania）这三个不同领域的知识图谱[3]。这种知识图谱中也有可能出现实体重叠，比如CMU实体在大学知识图谱和宾夕法尼亚州知识图谱中就同时出现（当然在两个知识图谱中的嵌入向量是不同的）。
如果能让在多个知识图谱间进行知识共享，那么很可能提高实体的嵌入质量与下游任务的表现。目前多源知识图谱融合(cross source knowlege graph fusion)领域的工作大都是需要先将多个知识图谱集中起来的。然而，在现实场景中，不同部门之间由于数据隐私的问题，共享数据是很困难的，那么联邦学习在这里就成为了一个很好的解决方案。
在联邦场景下，对于多源且同领域的情况，我们可以采用传统FedAvg的思想，训练一个让多方共享的嵌入模型；然而对于多源且不同领域的情况，不同的知识图谱就应当使用不同的嵌入模型。不过不论是在同领域和不同领域的情况下，都需要涉及对某些知识图谱间重叠（也称为对齐的，aligned）实体的embeddings进行统一（unify），以提高整体的学习效果，类似于分布式优化算法中聚合的意思。
2 联邦多源知识图谱嵌入论文阅读
2.1 IJCKG 2021:《FedE: Embedding Knowledge Graphs in Federated Setting》[3]
这篇论文属于多源同领域的类型。该问题的靓点在于首次采用FedAvg的框架对知识图谱嵌入模型进行训练，其解决方案非常直接：所有client共享一份所有实体和关系的嵌入，然后在本地进行优化时通过查表的方式获得元组((h, r, t))对应的嵌入向量。
本篇论文算法的每轮通信描述如下：
(1) 第(k)个client节点执行
- 从server接收所有实体的嵌入矩阵(textbf{E})，令本地嵌入矩阵(textbf{E}_k=textbf{P}_k^T textbf{E})。
- 执行(E)个局部epoch的SGD：
[textbf{E}_k = textbf{E}_k - eta nabla mathcal{L}(textbf{E}_k; mathcal{b}) ]
(此处将局部元组数据(mathcal{T}_k)划分为多个批量(mathcal{b}))
- 将(textbf{P}_k textbf{E}_k)发往server。
(2) server节点执行
-
从(N)个client接收({textbf{P}_k textbf{E}_k}_{k=1}^N)。
-
进行参数聚合：
- 将嵌入矩阵(textbf{E})发往对应的client。
上面只展示了实体embeddings的更新流程，关系embeddings的更新同理，此处从简省略掉。这里(textbf{E}_kin mathbb{R}^{n_ktimes d_e})表示本地实体的embeddings，(d_e)为实体嵌入维度；(textbf{P}_kin {0, 1}^{ntimes n_k})用于将客户端(k)的本地embeddings映射到服务端的全局embeddings中，((textbf{P}_k)_{ij}=1)意为全局embeddings中的第(i)个实体对应client中的第(j)个实体；((textbf{v}_k)_{i}=1)意为第(i)个实体在client (k)中存在，(oslash)表示逐元素除，(left(mathbb{1} oslash sum mathbf{v}_kright))表示给聚合结果的加权，在所有client中出现多的实体权重小；(otimes)表示带广播的逐元素乘，([textbf{v} otimes textbf{M}]_{i,j}=textbf{v}_i times textbf{M}_{i,j})。
整个算法流程如下图所示：
该算法本地优化采用的损失函数为论文[2]中提出的标准损失函数的变种，写为如下形式(考虑本地数据集(mathcal{T}_k)的一个批量(b))：
这里(gamma)是一个间隔超参数；((h, r, t_i^{-}))是((h, r, t))对应的负样本，((h, r, t_i^{-})notin mathcal{T}_k)；(n^{-})为负样本的数量。(pleft(h, r, t_{i}^{-}right))为对应负样本的权重，这种非均匀的负采样叫做自对抗负采样（self-adversarial negative sampling），权重定义如下：
这里(alpha)是温度。
2.2 CIKM 2021:《Differentially Private Federated Knowledge Graphs Embedding》[4]
这篇论文考虑的是各知识图谱之间跨领域的情况。这种情况下因为数据更加异构，就不能单纯地对重叠实体的embeddings进行平均了。本文的靓点在于提出了一种隐私保护的对抗转换网络(privacy-preserving adversarial translation, PPAT)，可以在隐私保护的前提下完成两两知识图谱间重叠实体及关系embeddings的统一。
如上图就展示了使用了论文提出的PPAT网络后的整个去中心化异步训练流程。图中(text{Train})表示本地训练知识图谱嵌入模型；(text{PPAT}(g_k, g_l))表示用PAPAT网络生成的(g_k)和(g_l)之间重叠部分的embeddings；(text{KGEmb-Update})表示更新之前PAPAT网络所生产的embeddings并再对client中所有embeddings进行训练（同(text{Train})）。如果在(text{KGEmb-Update})之后的本地评估结果没有提升，则会对client进行回退(backtrack)，也即舍弃新训练得到的embeddings并使用训练前的旧版本。
接下来我们来看PPAT网络是怎么实现的。该网络利用GAN结构来辅助重叠实体embeddings的统一。给定任意两个图((g_k,g_l))，论文将生成器设置于client (k)上，判别器设置与client (j)上。生成器的目标是将(g_k)中重叠实体的embeddings转换到(g_l)的嵌入空间；判别器负责区分生成器生成的人工embeddings和(g_l)中的基准embeddings。在GAN训练完毕后，生成器产生的人工embeddings能够学得两个知识图谱的特征，因此可以做为(mathcal{E}_{k} cap mathcal{E}_{l})与(R_{k} cap R_{l})的原始embeddings的有效替代（此时即完成了对embeddings的统一）。
这里需要注意的是，论文将原始GAN的判别器改为了多个学生判别器和一个教师判别器。论文在多个教师判别器的投票表决结果上加以Laplace噪声，得到带噪声的标签来训练学生判别器，这样学生判别器具有差分隐私性。而生成器又由学生判别器训练，则同样具有了差分隐私性。最终促使生成器产生带有差分隐私保护的embeddings。设生成器为(G)（参数为(theta_G)），学生判别器为(S)（参数为(theta_S)），多个教师判别器为(T={ T_1,T_2,cdots, T_{|T|}})(参数为(theta_{T}^{1}, theta_{T}^{2}, ldots, theta_{T}^{|T|})。这里使用(X=left{x_{1}, x_{2}, ldots, x_{n}right})来表示(g_k)中(mathcal{E}_{k} cap mathcal{E}_{l})与(R_{k} cap R_{l})的embeddings，用(Y=left{y_{1}, y_{2}, ldots, y_{n}right})来表示(g_l)中(mathcal{E}_{k} cap mathcal{E}_{l})与(R_{k} cap R_{l})的embeddings，则整个PPAT网络流程可描述如下：
如上图所示，生成器(G)的目标是产生与(Y)相似的对抗样本(G(X))，以求学生判别器(S)不能够识别它们。下面这个式子是生成器的损失函数：
这里(G(X)=WX)；(S)是一个参数为(theta_S)的学生判别器，它同时将(G(X))和(Y)做为输入。
教师判别器(T={ T_1,T_2,cdots, T_{|T|}})的学习目标和原始GAN中判别器相似，也即区分伪造样本(G(X))与真样本(Y)。唯一的不同是各个教师判别器会使用划分好的数据集来训练，第(t)个教师判别器的损失函数如下：
这里(D^t)是(T^t)对应的数据集(X)和(Y)的子集，满足(|D_t|=frac{n}{T})且子集之间无交集。
而学生判别器(S)的学习目标则是在给定带噪声标签的情况下，对生成器产生的真假样本进行分类。这里所谓的带噪声标签是在教师判别器的投票结果的基础上，加以随机的Laplace噪声来生成。下面的式子描述了在带噪声标签的生成机制（即所谓PATE机制）：
这里(V_0, V_1)为用于引入噪声的IID的Laplace分布随机变量。(n_j(x))表示对于输入(x)预测类别为(c)的教师数量：
（此处符号不严谨，(T_t(x))应该是个概率值，但意会意思即可）
学生判别器则利用带有上述标签的生成样本来训练自身。学生判别器的损失函数定义如下：
这里(gamma_{i}=P A T E_{lambda}left(x_{i}right))即生成的带噪声标签。
这样学生判别器(S)由带噪声的标签训练，则具有差分隐私性。而生成器又由学生判别器训练，则同样具有了差分隐私性。最终促使生成器产生带有差分隐私保护的embeddings。
参考
- [1] Hamilton W L. Graph representation learning[J]. Synthesis Lectures on Artifical Intelligence and Machine Learning, 2020, 14(3): 1-159.
- [2] Sun Z, Deng Z H, Nie J Y, et al. Rotate: Knowledge graph embedding by relational rotation in complex space[J]. arXiv preprint arXiv:1902.10197, 2019.
- [3] Chen M, Zhang W, Yuan Z, et al. Fede: Embedding knowledge graphs in federated setting[C]//The 10th International Joint Conference on Knowledge Graphs. 2021: 80-88.
- [4] Peng H, Li H, Song Y, et al. Differentially private federated knowledge graphs embedding[C]//Proceedings of the 30th ACM International Conference on Information & Knowledge Management. 2021: 1416-1425.
