前言
写这篇文章的时候，本蒟蒻正在挑战3个月达省一；
之前一直对模运算耿耿于怀十分好奇，遂决定，今天拿下；
最后在正文开始之前放一个搞笑的东西：
关于模运算的定义
我们先定义带余除法（其实就是除法）：
(设两个数 a,m in symbb{Z}, m not= 0,则a、m的带余除法定义为：)
存在唯一的整数q、r（r必须大于等于0），使得
我们记a模m为： (a bmod m)
我们把 (q) 称做商，(r) 称做余数（也称a模m的结果），记作：
关于114514 & 998244353
在 OI 中，模运算最直接的用处就是解决一些需要处理带模运算的题目；
而 (114514) 和 (998244353) 这两个神奇的模数就不得不提一下了：
(114514) 请自行百度（主要是我也没查出来什么）， (998244353) 有如下的几个特点：
1.它的二进制表达是：111011100000000000000000000001
2.它是一个质数。
3.它是一个奇数。
4.它可以表达为两个数的平方和：(998244353 = 3943^2 + 31348^2)
5.它是勾股数之一：(998244353^2 = 247210328^2 + 967149855^2)
6.它可以被表达为：(998244353 = 7 times 17 times 2^{23} + 1)
7.998244353最优美的性质莫过于它是个完美恶臭数：
之所以称为完美，因为每一个括号里114514都出现了正整数次；
Tips ：(998244353) 最大的一个特点是：出题人 (99%) 的情况下是不会使用这个数的，取而代之的是 (998234353) 、(998244553) ，不过应该没人会栽在上面
模运算的两个等式
这两个是经常会用到的等式，大部分的OI题目都要求取模
但是通常情况下，这时的结果都远远超出了int型的范围，我们需要在运算过程中就直接取模，而这步的正确性就是依赖于上面的两个等式
下面我们来证明一下：
证明1:
依据带余除法，我们设 (a = q_1m + r_1,) (b = q_2m + r_2)，那么带入等式左边，我们有：
更进一步，合并同类项：
引入一个定理：
(a bmod m) 的结果与 ((a+k times m) bmod m) 是一样的，通俗来说，就是一个数除以另一个数的余数，与这个数加上任意倍的除数之后除以除数的余数是一样的
显然，这里相当于有一个商为 ((q_1+q_2)) ,余数为 (r_1+r_2) 的数模 (m),当然就等于直接对 (r_1+r_2) 模 (m) （不妨自己试一下，(9 bmod 2) 和 (1 bmod 2)一不一样）
所以我们有：
而 (r_1,r_2) 就是 (a bmod m) ,(b bmod m) ,带入得：
证毕
证明2:
仍然依据带余除法，我们设 (a = q_1m + r_1,) (b = q_2m + r_2)，那么带入等式左边，我们有：
展开：
这里括号内的前两项仍然是 (m) 的倍数，所以可以和1一样进行替换
而 (r_1) 、(r_2) 分别是 (a bmod m) ,(b bmod m) ,带入得：
证毕
同余
如果在计算过程中出现了负数，应该如何处理呢(也就是对负数取模，这里不能直接取，这样是负的)？
我们回归问题的本质：求出这个负数除以m的余数
也就是说，我们只要找到一个和这个负数除以m的余数一样的正数，就可以找到这个负数除以m的余数，而所谓的“和这个负数除以m的余数一样的正数”，简称和这个负数同余（具有同样的余数）
当然，仅说同余是没有意义的，我们需要指定模数（除数），才是有意义的；
具体而言：假如有两个整数 (x,y) ，若 ((x-y) bmod m = 0) ,则称 (x,y) 在模 (m) 意义下同余（具有同样的余数）
为什么差是倍数就同余呢，仍然依据带余除法，我们设 (x = q_1m + r_1,) (y = q_2m + r_2)，那么带入等式左边，我们有：
而因为这玩意为0，所以 ((q_1-q_2)m+(r_1-r_2)) 必然是 (m) 的倍数，也就是能写成 (n times m)的形式（ (n) 是一个整数），显然，(n = q_1-q_2) ,所以 (r_1 - r_2 = 0)，也就是说，(r_1 = r_2) ，即 (x,y) 同余;
现在给出定义：对于任意的两个数 (x,y) ，若有 ((x-y) bmod m = 0) ,那么我们称 (x,y) 在模 (m) 意义下同余，记为：
那么回到最初的问题：如何找到和这个负数同余的正数；
我们假设这个数是 (-15)，根据同余的定义，我们有：(-15 equiv 5 pmod{10}) ((-15-5 = -20 bmod 10 = 0) ，显然-20是10的-2倍)
那么怎样从 (-15) 推出 (5) 来呢？
我们使用 「模m加m」 的方法，即先模m得到一个负数，随后加上m，就得到了和m同余的正数：
(-15 bmod 10 = -5)，(-5+10 = 5),这样就得到了5，随后再对5模10即可（这里的负余数-5是大部分的编程语言的默认做法，但是不符合数学定义）；
对于对一个不知正负的数字 (x) 取模，我们进行如下计算：
(x bmod m = (x bmod m + m) bmod m)
最后
到这里这篇介绍模运算的文章就结束了（当然不包含对除法的取模，这个比较复杂，需要适当了解群论和乘法逆元），可能会有笔误，欢迎各位指正
