最小生成树
何为最小生成树？
有一类问题：给定一张图，可以删除若干条边，在不改变连通性（一般是全联通）的情况下，权值和最小的方案是什么？没错，这就是最小生成树问题（MST问题）。那么基本性质其实连聪明的小学生都能看出来，应当使得最后留下 (n-1) 条边且没有环路得到情况下才有可能构成生成树，这便是Kruskal的基本实现原则，这个后面会讲。
最小生成树的Prim算法
其实Prim本身还是比较好理解的，跟Dijstra没什么两样，方法如下：
- 随便选一个结点出发，一般选定节点编号为 (1)，标记为 (now)，但请注意：只有在图全联通的情况下才能这么做。
- 向当前节点能够走到的所有节点进行搜索，如果当前
dis值小于对于当前 (now) 的更新后的节点最大值，那就更新dis，并记录下此节点。 - 当遍历完 (now) 所有能去到的节点之后，留下的就是对于更新后的，对于 (now) 能走到的节点权值最小值的编号，将其列为访问过，并计入到最小生成树中。
- 访问这个被记入访问了的节点，并重复 (2) 到 (3) 步直到推出结果。
为什么这个算法可行呢？
- 首先我们确保了每次选中的变得权值是最小的。
- 由于每个节点至多且一定会被选中 (1) 次，所以就会被选中 (n-1) 条边（最后一次更新没有选边）。
和上述我们面熟的的最小生成树的定义一样一样的，恭喜你，学会了Prim算法。对于其时间复杂度，是 (O(n^2)) （(n) 为节点数） ，空间复杂度是 (O(n)) ，非常稳定，（唯一的缺点就是慢）。
Code:
#include <iostream> #include <vector> #include <climits> using namespace std; const int MAXN = 5005; const int INF = INT_MAX; int n, m; // 顶点数和边数 int graph[MAXN][MAXN]; // 邻接矩阵存储图 int dist[MAXN]; // 存储顶点到MST的最小距离 bool visited[MAXN]; // 标记顶点是否已在MST中 void prim() { // 初始化距离数组 fill(dist, dist + n + 1, INF); fill(visited, visited + n + 1, false); dist[1] = 0; // 从顶点1开始 int totalWeight = 0; // 最小生成树的总权重 int selected = 0; // 已选顶点数 for (int i = 1; i <= n; ++i) { int u = -1; // 找到未访问的距离最小的顶点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (!visited[j] && (u == -1 || dist[j] < dist[u])) { u = j; } } // 如果没有找到可达的顶点，说明图不连通 if (dist[u] == INF) { cout << "orz" << endl; return; } visited[u] = true; totalWeight += dist[u]; selected++; // 更新邻接顶点的距离 for (int v = 1; v <= n; ++v) { if (!visited[v] && graph[u][v] < dist[v]) { dist[v] = graph[u][v]; } } } if (selected == n) { cout << totalWeight << endl; } else { cout << "-1" << endl; //无法构成MST。 } } int main() { cin >> n >> m; // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { graph[i][j] = INF; } } // 读入边 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; if (w < graph[u][v]) { // 处理重边，保留权重最小的 graph[u][v] = graph[v][u] = w; } } prim(); return 0; } 堆优化Prim算法
既然Prim那么慢，有没有什么好方法来优化掉这个致命的问题呢？当然有，我们可以使用优先队列来优化掉这个Prim算法。
思考：既然每次选点我们都只选最小的那个节点，而并不关心别的节点怎么了（看来图论的世界也只容得下第一名啊），欸，刚好和我们优先队列一拍即合，没错，他们两个需要维护的东西完全一致，那么就用堆来优化Prim好了：
- 首先我们创建一个
priority_queue，且是小根堆。 - 把 (now) 压入队列。
- 弹出队首，叫做 (cur) 。
- 检查 (cur) 是不是已经被访问过，如果是，就跳过。
- 遍历 (cur) 能抵达的所有节点，执行上述根性操作并push。
6.重复 (2) ~ (5) 步，直到我们求出MST。
其实堆优化Prim不是一种模板，是一种思想，就是要学会怎么找到题目中可以优化掉的没有用的信息，看有没有合适的优化方法，这种思想就是这么多高级算法的最终的最终的源头。
Code
#include <iostream> #include <vector> #include <queue> #include <climits> using namespace std; const int MAXN = 5005; const int INF = INT_MAX; typedef pair<int, int> pii; // (weight, vertex) int n, m; vector<pii> adj[MAXN]; // 邻接表存储图 int dist[MAXN]; // 存储顶点到MST的最小距离 bool visited[MAXN]; // 标记顶点是否已在MST中 void prim_heap() { fill(dist, dist + n + 1, INF); fill(visited, visited + n + 1, false); priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii>> pq; // 最小堆 dist[1] = 0; pq.push({0, 1}); int totalWeight = 0; int selected = 0; while (!pq.empty() && selected < n) { int u = pq.top().second; int d = pq.top().first; pq.pop(); if (visited[u]) continue; visited[u] = true; totalWeight += d; selected++; for (auto &edge : adj[u]) { int v = edge.second; int w = edge.first; if (!visited[v] && w < dist[v]) { dist[v] = w; pq.push({dist[v], v}); } } } if (selected == n) { cout << totalWeight << endl; } else { cout << "-1" << endl; } } int main() { cin >> n >> m; // 读入边 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; adj[u].push_back({w, v}); adj[v].push_back({w, u}); } prim_heap(); return 0; } 时间复杂度 (O(m log m)),空间复杂度 (O(n)) 。
Kruskal 算法
再次观察题目，有没有什么由价值的信息呢？我们发现，添加一条边的过程实际上和并查集合并的过程如出一辙！欸，我们又找到了思路，没错，可以用并查集来寻找最小生成树。过程如下：
- 初始化并查集，现在有 (n) 个连通块和 (0) 条边。
- 现在排序所有边，按权值来排。
- 遍历边集数组，合并对于第 (i) 条边的起点和终点，合并成功的话就计入答案，直到连通块个数为 (1)。
那么为什么这个方案可行呢？我们随便画张图就知道了：
- 首先，如果两个节点不属于一个集合，那么会合并两个联通块，连通块个数减少 (1) 个。
- 如果两个节点本来就属于一个节点，意味着再加入一条边就会形成环，故不会发生这样的情况，合并失败。
- 最后，因为我们的边集数组是一个有序（递增）的数组，因此也不存在会浪费掉任意一条最小生成树上的边，结果是最优的。
Code:
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int MAXM = 2e5 + 5; // 边数上限 const int MAXN = 5005; // 点数上限 struct Edge { int u, v, w; bool operator<(const Edge &other) const { return w < other.w; // 按边权升序排序 } } edges[MAXM]; int fa[MAXN]; // 并查集父节点数组 // 并查集查找根节点（路径压缩） int find(int x) { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); } int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); int n, m; cin >> n >> m; // 初始化并查集 for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i; // 读入边 for (int i = 0; i < m; i++) { cin >> edges[i].u >> edges[i].v >> edges[i].w; } // 按边权排序 sort(edges, edges + m); int selected = 0; // 已选边数 long long total = 0; // 总权值 // 克鲁斯卡尔主过程 for (int i = 0; i < m; i++) { int u = edges[i].u, v = edges[i].v; int rootU = find(u), rootV = find(v); if (rootU != rootV) { // 不连通则合并 fa[rootU] = rootV; total += edges[i].w; selected++; if (selected == n - 1) break; // 已选够n-1条边 } } // 输出结果 if (selected == n - 1) cout << total << endl; else cout << "-1" << endl; // 图不连通 return 0; } 时间复杂度 (O(n times alpha (n) )) ，空间复杂度 (O(n))
严格次小生成树（很难）
这个严格次小生成树的难度将会让初学者感到不易，其模板题难度为 NOI 难度，请估摸好自身实力，我们准备出发！
怎么求严格慈孝生成树呢？
说得简单一点：
假设我们有 (n) 个村庄，一共 (n-1) 座桥，此时一座桥被山洪给冲垮了，需要换上另一个不如这个桥却最优的桥。听懂上面这个故事了吗？没错，以上故事告诉了我们以下几个信息：
- 严格次小生成树与最小生成树之间至多有 (1) 条边的差距（证明会讲）。
- 严格次小生成树的实现方法相当于删除边，添加边，比较边的过程。
如何证明？当然 (2) 这个结论是毋庸置疑的，(1) 的证明如下：
证明方法：反证法
假设存在一棵严格次小生成树 $ T' $，其与MST $ T $ 至少有两条边不同。我们需要通过调整 $ T' $ 来构造一棵与 $ T $ 仅有一条边不同的生成树，且权值仍严格大于 $ T $。
步骤：
-
边集排序：
- 将 $ T $ 和 $ T' $ 的边分别按权值从小到大排序，记为 $ ET = {e_1, e_2, dots, e_{n-1}}$ 和 (ET' = {f_1, f_2, dots, f_{n-1}})
。 - 找到第一个不同的边下标 $ k $，使得 $ e_k neq f_k $。根据Kruskal算法的性质，必有 $ we_k leq wf_k $。
- 将 $ T $ 和 $ T' $ 的边分别按权值从小到大排序，记为 $ ET = {e_1, e_2, dots, e_{n-1}}$ 和 (ET' = {f_1, f_2, dots, f_{n-1}})
-
引入环与替换：
- 将 $ e_k $ 加入 $ T' $，此时会形成一个环 $ C $。
- 根据MST的性质，环 $ C $ 中除 $ e_k $ 外的其他边权值均大于或等于 $ we_k $（否则 $ T $ 不是MST）。
- 删除环 $ C $ 中权值最大的边 $ f_i $（若 $ wf_i > we_k $），得到新生成树 $ T'' $。
- 若 $ wf_i > we_k $，则 $ T'' $ 的权值 $ wT'' = wT' + we_k - wf_i $，且 $ wT < wT'' < wT' $，这与 $ T' $ 是严格次小生成树矛盾。
- 若 $ wf_i = we_k $，则 $ wT'' = wT' $，此时 $ T'' $ 与 $ T' $ 权值相同，但差异边数减少。重复此操作，最终可得到一棵与 $ T $ 仅有一条边不同的严格次小生成树。
-
唯一性保证：
- 若存在多条边差异，总能通过上述替换操作逐步减少差异边数，同时保证权值严格大于MST。
结论
通过反证法可知，严格次小生成树 $ T' $ 必须与MST $ T $ 仅有一条边不同，否则会导出矛盾或构造出更优的生成树。
综上，我们可以得知，要么不存在严格次小生成树，要么就满足以上两条约束。
接下来就是实现方法的探讨了，我们知道，因为 MST 与 SSMST（Strictly Second Minimum Spanning Tree，严格次小生成树）之间只有一条边的差距，因此我们可以尝试枚举对于每一条非树边，加入到最小生成树中使其构成环路，然后删除掉这个环中的最大者（如果添加的那条变得权值和最大者相同，则删除次大者），这个过程可能需要LCA优化，因为我们添加边之前，最小生成树的次大值和最大值也可以用树上倍增的方法维护，定义 (max_{i,j}) 为 (i) 向上 (2^j) 的最大值，(max2_{i,j}) 为 (i) 向上 (2^j) 的次大者，此时就需要分类讨论了，得到最终代码如下：
for(int j=1;j<=LOG;j++){ fath[v][j]=fath[fath[v][j-1]][j-1]; int tmp[4]={max1[v][j-1],max1[fath[v][j-1]][j-1],max2[v][j-1],max2[fath[v][j-1]][j-1]}; sort(tmp,tmp+4,greater<int>()); max1[v][j]=tmp[0]; max2[v][j]=LLONG_MIN; for(int i=1;i<4;i++){ if(tmp[i]<tmp[0]){ max2[v][j]=tmp[i]; break; } } } 然后用LCA来找环上的最大者和次大者，最后和答案作比较，我们的代码就出来了！
Code
#include<bits/stdc++.h> #define int long long using namespace std; const int maxn = 3e5+100; struct node{ int u,v; int w; bool vis; bool operator < (const node &a)const{ return w<a.w; } }edge[maxn]; int fath[maxn][20],dep[maxn],max1[maxn][20],max2[maxn][20],n,m,LOG,fa[maxn]; vector<vector<pair<int,int>>>tree; int find(int x){ if(fa[x]==x)return x; return fa[x]=find(fa[x]); } bool join(int x,int y){ int fx=find(x); int fy=find(y); if(fx!=fy){ fa[fx]=fy; return true; } return false; } int kruskal(){ sort(edge+1,edge+1+m); for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i; int cnt=n,sum=0; for(int i=1;i<=m;i++){ if(cnt==1)break; if(join(edge[i].u,edge[i].v)){ cnt--; sum+=edge[i].w; edge[i].vis=true; tree[edge[i].u].push_back({edge[i].v,edge[i].w}); tree[edge[i].v].push_back({edge[i].u,edge[i].w}); } } return sum; } void dfs(int u,int fa){ for(auto i : tree[u]){ int v=i.first; int w=i.second; if(v==fa)continue; dep[v]=dep[u]+1; fath[v][0]=u; max1[v][0]=w; max2[v][0]=LLONG_MIN; for(int j=1;j<=LOG;j++){ fath[v][j]=fath[fath[v][j-1]][j-1]; int tmp[4]={max1[v][j-1],max1[fath[v][j-1]][j-1],max2[v][j-1],max2[fath[v][j-1]][j-1]}; sort(tmp,tmp+4,greater<int>()); max1[v][j]=tmp[0]; max2[v][j]=LLONG_MIN; for(int i=1;i<4;i++){ if(tmp[i]<tmp[0]){ max2[v][j]=tmp[i]; break; } } } dfs(v,u); } } pair<int,int> query(int u,int v){ int ans1=LLONG_MIN,ans2=LLONG_MIN; if(dep[u]<dep[v])swap(u,v); for(int k=LOG;k>=0;k--){ if(dep[fath[u][k]]>=dep[v]){ if(max1[u][k]>ans1){ ans2=ans1; ans1=max1[u][k]; }else if(max1[u][k]<ans1&&max1[u][k]>ans2){ ans2=max1[u][k]; } if(max2[u][k]>ans2){ ans2=max2[u][k]; } u=fath[u][k]; } } if(u==v)return {ans1,ans2}; for(int k=LOG;k>=0;k--){ if(fath[u][k]!=fath[v][k]){ if(max1[u][k]>ans1){ ans2=ans1; ans1=max1[u][k]; }else if(max1[u][k]<ans1&&max1[u][k]>ans2){ ans2=max1[u][k]; } if(max2[u][k]>ans2){ ans2=max2[u][k]; } if(max1[v][k]>ans1){ ans2=ans1; ans1=max1[v][k]; }else if(max1[v][k]<ans1&&max1[v][k]>ans2){ ans2=max1[v][k]; } if(max2[v][k]>ans2){ ans2=max2[v][k]; } u=fath[u][k]; v=fath[v][k]; } } if(max1[u][0]>ans1){ ans2=ans1; ans1=max1[u][0]; }else if(max1[u][0]<ans1&&max1[u][0]>ans2){ ans2=max1[u][0]; } if(max1[v][0]>ans1){ ans2=ans1; ans1=max1[v][0]; }else if(max1[v][0]<ans1&&max1[v][0]>ans2){ ans2=max1[v][0]; } if(max2[u][0]>ans2)ans2=max2[u][0]; if(max2[v][0]>ans2)ans2=max2[v][0]; return {ans1,ans2}; } signed main(){ cin>>n>>m; LOG=log2(n); tree.resize(n+1); for(int i=1;i<=m;i++){ int u,v,w; cin>>u>>v>>w; if(u==v)continue; edge[i]={u,v,w,false}; } int sum=kruskal(); dep[1]=1; dfs(1,0); int sec=LLONG_MAX; for(int i=1;i<=m;i++){ if(!edge[i].vis){ pair<int,int>tmp=query(edge[i].u,edge[i].v); if(edge[i].w>tmp.first){ sec=min(sec,sum+edge[i].w-tmp.first); } if(edge[i].w>tmp.second && tmp.second!=LLONG_MIN){ sec=min(sec,sum+edge[i].w-tmp.second); } } } cout<<sec; } 由于难度较大，代码是本人亲自写的，代码风格可能不好看，敬请谅解。
