简介
在本篇文章中，我们采用逻辑回归作为案例，探索神经网络的构建方式。文章详细阐述了神经网络中层结构的实现过程，并提供了线性层、激活函数以及损失函数的定义（实现方法）。
目录
- 背景介绍
- 网络框架构建
- 层的定义
- 线性层
- 激活函数
- 损失函数
背景介绍
在网络的实现过程中，往往设计大量层的计算，对于简单的网络（算法），其实现相对较容易，例如线性回归，但对于逻辑回归，从输入到激活值再到损失估计的过程整体已经较冗长，实现复杂，并且难以维护，因此，我们需要采用系统性的框架来实现网络（算法），以达到更好的性能、可维护性等。
以逻辑回归为例初步探究
逻辑回归的决策过程可以分为三步
- 对采样数据(X)进行评估
- 激活函数变换
- 损失函数计算
其中(circ)表述逐元素相乘或称哈达玛积
上述过程中反应出了这些层的一些共性：
- 计算函数值的输入与计算梯度时的输入相同。
- 计算函数值时，每一步的输入都是上一步的输出。
- 计算梯度时，由链式法则，每一步的梯度累乘即为损失关于参数的梯度。
函数值的计算过程从输入开始直至输出结果，故称为前向传播(forward)
导数值的计算过程从输出开始反向直至第一层，故称为反向传播(backward)
由此，可以总结，并设计出层的基本代码如下：
class Layer { private: MatrixXd para; // 参数 MatrixXd cache; // 缓存 public: MatrixXd forward(MatrixXd input); // 前向传播 MatrixXd backward(MatrixXd prevGrad); // 反向传播 void update(double learning_rate); // 参数更新 } 部分层是没有参数的，例如激活函数、损失函数。这里只有线性层是有参数的。
框架功能探索
基于上一小节提出的框架，我们可以构建三个层次，伪代码如下：
Layer linear; Layer sigmoid; Layer logit; 下面我们来详细讨论如何基于该框架进行计算。
前向传播
MatrixXd Layer::forward(MatrixXd input) { cache = input; // 保存输入 return input * para; // 对输入做计算并返回；这里给了一个示例 } -
z=linear.forward(X)：线性层对输入(text{X})进行评估，并在其内存cache中保存(text{X}) -
hat_y=sigmoid.forward(z)：激活函数对输入(text{z})进行变换，得到类别概率（预测）(hat{text{y}})，同时在其内存cache中保存(text{z}) -
loss = logit.forward(y, hat_y)：损失函数依据真实值(text{y})和预测值(hat{text{y}})估计模型误差.
可以注意到，loss具有两个输入，一个是前向传播过程中的计算值，一个是真实结果。
从多态性的角度，虽然行为上有大量的一致性，但是由于输入参数数量不一致，其很难和普通层以及激活函数一样从基本层类派生，而是需要另外定义基类。
反向传播
反向传播的示例代码如下：
MatrixXd Layer::backward(MatrixXd prevGrad) { MatrixXd grad = ...; // 采用cache中内容计算梯度 cache = grad * prevGrad; // 梯度累乘，同时保存进内存 return cache; // 返回梯度，以供下一层进行计算 } -
grad = logit.backward(y, hat_y)：依据公式计算损失的梯度(partial text{LOSS}/partial hat{text{y}})。 -
grad = sigmoid.backward(grad)：首先计算梯度(partial{hat{text{y}}/partial text{z}})，其中，计算所需的(text{z})从缓存中读取。最后，将梯度与输入的梯度相乘，得到梯度(partial text{LOSS}/partial text{z})。 -
grad = linear.backward(grad)：首先计算梯度(partialtext{z}/partial text{w})，计算所需的(X)从缓存中读取。最后，将梯度与输入梯度相乘，得到梯度(partial text{LOSS}/partial text{w})。
参数更新
参数更新的示例代码如下：
MatrixXd Layer::update(double learning_rate) { w -= learning_rate * cache; // 采用缓存中存储的梯度进行参数更新 } 在本例中，只有linear是具有参数的层，因此在更新的时候只用调用linear的update()方法即可。
总结
在本小节中，我们以逻辑回归为例，初步探索了神经网络的构建方法，即：定义层类型，用以表示网络的每一层（或组件），在计算过程中，分为前向传播（推理及评估模型误差），反向传播（计算梯度）以及参数更新三个步骤。
该实现方法很好的将复杂的计算拆分为了多个独立的单元，便于较大体量的算法的实现、并且提供了极好可维护性。同时，对内存cache的合理使用，也极大的简化了调用过程，并提升了算法效率。
网络框架构建
神经网络是由多个组件一层层组件起来的，或者说组建神经网络的基本单元是层Layer，在本文中，将详细讲述怎么设计并实现层单元。
层的定义
层通常包含三种基本方法（行为）：前向传播（forward）、反向传播（backward）和参数更新（update）。
对于每种行为，不同类型的层所对同一操作所执行的行为不同，例如，在前向传播过程中，线性层对输入进行线性映射，激活函数则将每一元素映射至([0,1])。
C++中，允许在基类中定义方法，在派生类中重载这些方法，并在运行时根据实际类型来调整调用的函数。这种方法称之为多态性（Polymorphism）。
下面给出了层的定义（基类）。
class Layer { public: virtual MatrixXd forward(const MatrixXd& input) = 0; virtual MatrixXd backward(const MatrixXd& prevGrad) = 0; virtual void update(double learning_rate) = 0; virtual ~Layer() {} }; 在层的声明中，定义了层的三种基本方法。
线性层
对于线性层，其包含两个参数：权重矩阵W，和偏置b。其包含三个内存，一个用于存储输入inputCache，另外两个用于存储参数的变化量dW和db（一般是损失函数关于参数的梯度）。下面给出代码：
class Linear : public Layer { private: // para MatrixXd W; MatrixXd b; // cache MatrixXd inputCache; MatrixXd dW; MatrixXd db; public: Linear(size_t input_D, size_t output_D); MatrixXd forward(const MatrixXd& input) override; MatrixXd backward(const MatrixXd& prevGrad) override; void update(double learning_rate) override; }; 构造函数
构造函数用于初始化线性层的参数和缓存变量，代码如下：
Linear::Linear(size_t input_D, size_t output_D) : W(MatrixE::Random(input_D, output_D)), b(MatrixE::Random(1, output_D)) { inputCache = MatrixE::Constant(1, input_D, 0); dW = MatrixE::Constant(input_D, output_D, 0); db = MatrixE::Constant(1, output_D, 0); }; -
构造函数的参数：
input_D：输入特征的维度，即输入数据的特征数量。output_D：输出特征的维度，即线性层输出的特征数量。
-
成员初始化列表：
将参数W和b初始化为指定尺寸的随机矩阵。随机矩阵中的元素通常从标准正态分布中采样。 -
缓存变量的初始化：
将缓存变量初始化为与其尺寸匹配的全零矩阵。对于输入缓存，由于输入尺寸未知，仅知其特征维度，故初始化时设定其尺寸为1。
前向传播
下述为线性层前向传播计算的代码实现。
MatrixXd ML::Linear::forward(const MatrixXd& input) { // 缓存输入 this->inputCache = input; // 返回计算结果 return (input * W) + b.replicate(input.rows(), 1); } 在计算过程中，input * W表示矩阵乘法，其中input是m x n矩阵，W是n x o矩阵，结果为m x o矩阵，表示线性变换的结果。
b是一个 o x 1 的偏置向量，通过b.replicate(input.rows(), 1)将其沿行方向复制m次，生成一个m x o的矩阵，为每个样本添加相同的偏置项。
最终，将线性变换结果与偏置矩阵相加，得到输出矩阵。
反向传播
下述为线性层方向传播计算的代码实现。
MatrixXd ML::Linear::backward(const MatrixXd& prevGrad) { // 计算关于权重的梯度 this->dW = inputCache.transpose() * prevGrad; // 计算关于偏置的梯度 this->db = prevGrad.colwise().sum(); // 计算并返回关于输入的梯度 return prevGrad * W.transpose(); } 该函数接受前一层的梯度prevGrad，并根据缓存的输入矩阵inputCache计算损失关于本层参数的偏导（分别计算dW和db）并保存以用于参数更新。最后，返回关于输入的梯度矩阵。
激活函数
激活函数是比较特殊的层函数，其不包含任何的参数信息，因此，其无需进行参数更新，或者说参数更新函数不做任何操作；进一步的，激活函数也不需要在缓存中存储梯度信息，因为它无需更新参数。
下面给出较经典的三种激活函数的定义，它们都是从Layer中派生的：
ReLU激活函数
class ReLU : public Layer { private: MatrixXd inputCache; public: MatrixXd forward(const MatrixXd& input) override; MatrixXd backward(const MatrixXd& prevGrad) override; void update(double learning_rate) override {} }; MatrixXd ReLU::forward(const MatrixXd& input) { inputCache = input; return input.unaryExpr([](double x) { return x > 0 ? x : 0; }); } MatrixXd ReLU::backward(const MatrixXd& prevGrad) { MatrixXd derivative = inputCache.unaryExpr([](double x) { return x > 0 ? 1 : 0; }).cast<double>().matrix(); return prevGrad.cwiseProduct(derivative); } Sigmoid激活函数
class Sigmoid : public Layer { private: MatrixXd inputCache; public: MatrixXd forward(const MatrixXd& input) override; MatrixXd backward(const MatrixXd& prevGrad) override; void update(double learning_rate) override {} }; MatrixXd Sigmoid::forward(const MatrixXd& input) { inputCache = input; return input.unaryExpr([](double x) { return 1.0 / (1.0 + exp(-x)); }); } MatrixXd Sigmoid::backward(const MatrixXd& prevGrad) { MatrixXd sigmoidOutput = inputCache.unaryExpr([](double x) { return 1.0 / (1.0 + exp(-x)); }); return prevGrad.cwiseProduct(sigmoidOutput.cwiseProduct((1 - sigmoidOutput.array()).matrix())); } tanh激活函数
class Tanh : public Layer { private: MatrixXd inputCache; public: MatrixXd forward(const MatrixXd& input) override; MatrixXd backward(const MatrixXd& prevGrad) override; void update(double learning_rate) override {} }; MatrixXd Tanh::forward(const MatrixXd& input) { inputCache = input; return input.unaryExpr([](double x) { return tanh(x); }); } MatrixXd Tanh::backward(const MatrixXd& prevGrad) { MatrixXd tanhOutput = inputCache.unaryExpr([](double x) { return tanh(x); }); return prevGrad.cwiseProduct((1 - tanhOutput.cwiseProduct(tanhOutput).array()).matrix()); } 损失函数
损失函数是一种特殊的层，其行为与普通的层相似，但在前向传播和反向传播过程中与普通的层存在较大差异：
- 前向传播：从使用来看，如果仅需使用网络，而无需评价，或者训练网络，前向传播过程中，无需调用损失函数。从输入个数来看，普通层函数只需要传入上一层的输出即可，而损失函数需要上一层的输出（也即：网络的预测结果）和真实结果两个参数。
- 反向传播：损失函数是反向传播的起点，其接受预测结果和真实结果作为其输入，返回梯度矩阵，而其它矩阵则是输入上一层的梯度矩阵，返回本层的梯度矩阵。
由于损失函数与普通层的差异，一般单独定义损失函数的调用接口（基类），代码如下：
class LossFunction { public: virtual double computeLoss(const MatrixXd& predicted, const MatrixXd& actual) = 0; virtual MatrixXd computeGradient(const MatrixXd& predicted, const MatrixXd& actual) = 0; virtual ~LossFunction() {} }; 下文分别以均方根误差和对数损失为例，给出代码，供读者参考学习
MSE均方根误差
class MSELoss : public LossFunction { public: double computeLoss(const MatrixXd& predicted, const MatrixXd& actual) override; MatrixXd computeGradient(const MatrixXd& predicted, const MatrixXd& actual) override; }; double MSELoss::computeLoss(const MatrixXd& predicted, const MatrixXd& actual) { MatrixXd diff = predicted - actual; return diff.squaredNorm() / (2.0 * predicted.rows()); } MatrixXd MSELoss::computeGradient(const MatrixXd& predicted, const MatrixXd& actual) { MatrixXd diff = predicted - actual; return diff / predicted.rows(); } 对数损失函数
class LogisticLoss : public LossFunction { public: double computeLoss(const MatrixXd& predicted, const MatrixXd& actual) override; MatrixXd computeGradient(const MatrixXd& predicted, const MatrixXd& actual) override; }; double LogisticLoss::computeLoss(const MatrixXd& predicted, const MatrixXd& actual) { MatrixXd log_predicted = predicted.unaryExpr([](double p) { return log(p); }); MatrixXd log_1_minus_predicted = predicted.unaryExpr([](double p) { return log(1 - p); }); MatrixXd term1 = actual.cwiseProduct(log_predicted); // MatrixXd term2 = (1 - actual).cwiseProduct(log_1_minus_predicted); MatrixXd term2 = (1 - actual.array()).matrix().cwiseProduct(log_1_minus_predicted); double loss = -(term1 + term2).mean(); return loss; } MatrixXd LogisticLoss::computeGradient(const MatrixXd& predicted, const MatrixXd& actual) { MatrixXd temp1 = predicted - actual; MatrixXd temp2 = predicted.cwiseProduct((1 - predicted.array()).matrix()); return (temp1).cwiseQuotient(temp2); } 
