4种旋转操方法,6种双旋平衡因子特征,图文详解,一把到位
AVL树
AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
(默认平衡因子=右子树高度-左子树高度)
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在$O(log_2 n)$，搜索时间复杂度O($log_2 n$)。
AVL树是由BST二叉搜索树改进而来,基本概念参考BST篇,本篇文章不再详细描述.
AVL树节点的定义：
template<class K, class V> struct AVLTreeNode { //三叉链: left right parent AVLTreeNode* _left; // 该节点的左孩子 AVLTreeNode* _right; // 该节点的右孩子 AVLTreeNode* _parent; // 该节点的双亲 std::pair<K,V> _kv; // 键值对 int _bf; // 该节点的平衡因子 balance factor AVLTreeNode(const std::pair<K, V>& kv) :_left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) , _kv(kv) , _bf(0) {} }; AVL树的插入
基本情况分析
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
-
按照二叉搜索树的方式插入新节点
-
调整节点的平衡因子
a. 更新父结点平衡因子
b. 根据父结点的平衡因子进行相应的操作
对于平衡因子
插入新结点后,首先可能会影响父结点的平衡因子,迭代往上,可能还会影响部分或全部(到根节点)祖先结点的平衡因子.
具体地说,即插入新结点后,需要根据父结点平衡因子的情况,决定是否继续往上对祖结点进行更新平衡因子,最多到达根结点.
平衡因子对应的操作
父结点平衡因子如何决定是否继续往上更新? 取决于更新后parent->_bf的值
-
若
parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1,说明插入前的父结点一定是左右子树高度相等,即_bf为0.新增结点后父结点所在子树高度一定发生变化,爷爷结点所在子树也可能发生变化,因此需要进行迭代更新祖先平衡因子.不可能是2或-2变成1或-1,因为这是AVL树的插入,至少先保证是AVL树才能插入
-
若
parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2,说明插入前的父结点所在子树一边高一边低,之后新结点恰好插入到了高的一边,导致不平衡,需要做旋转操作,调整平衡. -
parent->_bf == 0,插入后父结点的平衡因子平衡,说明原先父结点的左右子树是一边高一边低,然后插入刚好插到了低的一边,使其平衡.插入结束.
旋转操作
分析需要旋转的情况
首先，要针对AVL子树，找出/抽象出可能发生旋转的情况。
一棵可能发生旋转的树至少高度差为1，即两个结点以上。（前提）
（可能会发生旋转的子树至少两个结点以上）
其中a,b,c是三棵AVL子树
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当子树高度h==0时,即a、b、c都为空树
-
当子树高度h==1时,a、b、c都是叶子结点
-
当子树高度h==2时,a、b、c分别有三种情况
此时这个AVL子树有3*3*3=27种情况：a为x/y/z，b为x/y/z，c为x/y/z。
-
如此往下，还有更多的情况，但全部形状都可以用图中模型来代替。
以h==2为例，只有当b或c为z情况时，插入到b或c子树会影响到根结点（30），并使其发生旋转。
其他情况都无法使其发生旋转。因此，当前可以总结出2种需要旋转的情况：
- c为z时，插到c中（左左）
- b为z时，插到b中（左右）
左左：较高的子树是左孩子（60）所在子树，插到左孩子（60）的左子树上（c）引发根（30）旋转的情况叫“左左”。
顺口：插在较高左子树的左孩子上。
同理，水平镜像翻转的AVL子树也同理
- c为z时，插到c中（右右）
- b为z时，插到b中（右左）
结论
合并起来总共4种需要旋转的情况，验证其他高度也同样如此。
其中插入b子树使30结点发生旋转的情况：a为x/y/z，b为z，c为x/y/z，总共3*3=9种
其中插入c子树使30结点发生旋转的情况：a为x/y/z，b为x/y/z，c为z，总共3*3=9种
特例的数量非常多，无法穷举。
4种旋转操方法与特征
-
新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
-
特征
父：-2
子：-1
最左边高，旧根的左孩子变成新根，旧根成为新根的右孩子，同时领养新根的旧右孩子。
儿子上位 -- 儿子当根
右单旋（主角是儿子）：老爹在我的右上方，让老爹以我为轴，旋转到我的右下方
-
-
新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
-
特征
父：2
子：1
最右边高，旧根的右孩子变成新根，旧根成为新根的左孩子，同时领养新根的旧左孩子。
-
-
新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
-
特征
父：-2
子：1
- 旧根的左儿子的右孩子（简称右孙子）高：让右孙子成为旧根的左孩子，旧左孩子变成孙子的左孩子，同时领养孙子的左孩子。 -- 对右孙子做左旋操作
- 右孙子成为旧根的新左儿子，再对新作儿子做右旋操作即可。
孙子上位 --- 孙子当根
感性描述：先左单旋再右单旋（孙子是主角）：我在孙子左边，我的老爹在孙子右边，然后让孙子的爹（我）左旋下来，孙子成为我的爹，我的旧爹成为孙子的爹；最后再让孙子的新爹右旋下来。
描述2： 两次旋转分别用途： 1. 转化成标准单旋； 2.标准单旋
-
-
新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋
-
特征
父：2
子：-1
-
总共4种旋转的情况：
- 右旋（左左）
- 左旋（右右)
- 先左旋再右旋（左右）
- 先右旋再左旋（右左）
简要图：
6种双旋平衡因子特征
容易发现单旋平衡因子都是0（高度差为0），而双旋平衡因子较为复杂，观察规律总结出一共6种情况。
-
左右左（h>0)
-
旧（特征）
孙：-1
-
新
父：1
子：0
孙：0
-
-
左右右(h>0)
-
旧（特征）
孙：1
-
新
父：0
子：-1
孙：0
-
-
右左右（h>0）
-
旧（特征）
孙：1
-
新
父：-1
子：0
孙：0
-
-
右左左（h>0）
-
旧（特征）
孙：-1
-
新
父：0
子：1
孙：0
-
-
左右，特例（h==0)
-
旧（特征）
孙：0
-
新
父：0
子：0
孙：0
-
-
右左（h==0)，与5相同
-
旧（特征）
孙：0
-
新
父：0
子：0
孙：0
-
代码实现
四种旋转实现
//1. 右右 void RotateL(Node* parent) { //. 记录爷爷(父亲的父亲) //. 我是父的右儿子(我是主角) //. 记录下我的左子树(托管) // 旋转(爷、父、子关系重新调整） // 成为爷爷的右儿子 (如果没有爷爷,则跳过;且说明父是根,更新我成为根) // 把我的左子树托管给父成为他的右孩子 // 旧父成为我的左儿子,旧父的父更新成我 //. 更新平衡因子 //. 记录爷爷(父亲的父亲) //. 我是父的右儿子 //. 记录下我的左子树 Node* pparent = parent->_parent; Node* cur = parent->_right; Node* leftchild = cur->_left; //旋转 //. 成为爷爷的右儿子 (如果没有爷爷,则跳过;且说明父是根,更新我成为根) if (pparent) { //有爷爷 if(parent == pparent->_left) pparent->_left = cur; else { pparent->_right = cur; } cur->_parent = pparent; //三叉链维护 } else { //没有爷爷,父亲是根 cur->_parent = nullptr; _root = cur; } //. 父子地位交换 parent->_right = leftchild; if (leftchild) { //三叉链维护 leftchild->_parent = parent; } cur->_left = parent; parent->_parent = cur; //旋转 【end】 //更新平衡因子 cur->_bf = 0; parent->_bf = 0; } //2. 左左 void RotateR(Node* parent) { //. 记录爷爷 //. 我是父的左儿子 //. 记录下我的右子树 Node* pparent = parent->_parent; Node* cur = parent->_left; Node* rightChild = cur->_right; //旋转 //. 成为爷爷的左儿子 (如果没有爷爷,则跳过;且说明父是根,更新我成为根) if (pparent) { //有爷爷 if (parent == pparent->_left) pparent->_left = cur; else { pparent->_right = cur; } cur->_parent = pparent; //三叉链维护 } else { //没有爷爷,父亲是根 cur->_parent = nullptr; _root = cur; } //. 父子地位交换 parent->_left = rightChild; if (rightChild) { //三叉链维护 rightChild->_parent = parent; } cur->_right = parent; parent->_parent = cur; //旋转 【end】 //更新平衡因子 cur->_bf = 0; parent->_bf = 0; } //3. 左右 void RotateLR(Node* parent) { //我是儿子,但是主角是孙子 //记录下孙子 //记录下孙子的平衡因子(特征) //对孙子进行左单旋,再右旋 //更新平衡因子 Node* cur = parent->_left; Node* grandson = cur->_right; int bf = grandson->_bf; RotateL(cur); RotateR(grandson->_parent); //三种情况 if (bf == 0) { parent->_bf = 0; cur->_bf = 0; grandson->_bf = 0; } else if (bf == 1) { parent->_bf = 0; cur->_bf = -1; grandson->_bf = 0; } else if (bf == -1) { parent->_bf = 1; cur->_bf = 0; grandson->_bf = 0; } else { assert(false); //错误检查 } } //4. 右左 void RotateRL(Node* parent) { //我是儿子(父的右孩子),但是主角是孙子 //记录下孙子(我的左孩子) //记录下孙子的平衡因子(特征) //对孙子进行右单旋,再左单旋 //更新平衡因子 Node* cur = parent->_right; Node* grandson = cur->_left; int bf = grandson->_bf; RotateR(cur); //将孙子的爹,就是我,进行右单旋 RotateL(grandson->_parent); //将儿子的新爹进行左单旋 //三种情况 if (bf == 0) { parent->_bf = 0; cur->_bf = 0; grandson->_bf = 0; } else if (bf == 1) { parent->_bf = -1; cur->_bf = 0; grandson->_bf = 0; } else if (bf == -1) { parent->_bf = 0; cur->_bf = 1; grandson->_bf = 0; } else { assert(false); } } 插入操作实现
bool Insert(const std::pair<K,V> kv) { //第一个结点做根 if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); _size++; return true; } //搜索 Node* parent = _root; Node* cur = _root; while (cur) { //大于往右走 if (kv.first > cur->_kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } //小于往左走 else if (kv.first < cur->_kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } //找到了,存在相同的key else { return false; } } //循环搜索... //不存在,可以插入 cur = new Node(kv); //new后,cur值发生改变,之后都不能使用地址进行比较 if (cur->_kv.first < parent->_kv.first) { parent->_left = cur; } else { parent->_right = cur; } cur->_parent = parent; //三叉链链上父结点 _size++; //调整平衡因子 : 最多到根,根的parent为nullptr while (parent) { //更新平衡因子 if (cur->_kv.first < parent->_kv.first) { parent->_bf--; } else { parent->_bf++; } //看是否需要调整 if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) { cur = parent; parent = parent->_parent; } else if(parent->_bf == 0){ break; } else if(parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){ if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) { //左左 RotateR(parent); } else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) { //右右 RotateL(parent); } else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) { //左右 RotateLR(parent); } else if(parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){ //右左 RotateRL(parent); } else { //错误检查 assert(false); } break; } else { assert(false); } } return true; } 树高度与是否平衡树判断实现
size_t Hight() { return _Hight(_root); } bool IsBalance() { return _IsBalance(_root); } size_t _Hight(Node* root) { if (root == 0) return 0; //空 size_t leftH = _Hight(root->_left); size_t rightH = _Hight(root->_right); return std::max(leftH, rightH) + 1; //+1:自己高度为1 } bool _IsBalance(Node* root) { if (root == nullptr) return true; int leftH = _Hight(root->_left); int rightH = _Hight(root->_right); int bf = rightH-leftH; return bf == root->_bf //平衡因子 && (bf > -2 && bf < 2) //高度差 && _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right); } 其他实现
#include<iostream> #include<string> #include<cassert> template<class K,class V> struct AVLTreeNode { //三叉链 AVLTreeNode<K,V>* _left; AVLTreeNode* _right; AVLTreeNode* _parent; int _bf; //balance factor std::pair<K,V> _kv; AVLTreeNode(const std::pair<K,V>& kv) :_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0), _kv(kv) {} }; template<class K,class V> class AVLTree { public: using Node = AVLTreeNode<K, V>; AVLTree() :_root(nullptr) ,_size(0) {} public: void InOrder() { _InOrder(_root); std::cout<<std::endl; } private: void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) { return ; } _InOrder(root->_left); std::cout<<root->_kv.first<<" "; _InOrder(root->_right); } private: Node* _root; size_t _size; }; 插入验证
- 两个数组包含各种旋转情况
- 每插入都判断是否平衡
int main() { std::cout<<std::boolalpha; //int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14 }; int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 }; AVLTree<int, int> t; for (int it : a) { t.Insert(std::make_pair(it, it)); std::cout << "是否平衡: " << t.IsBalance() << std::endl; } t.InOrder(); //3 7 9 11 14 15 16 18 26 }
BenchMark
环境
| 架构： | x86_64 |
|---|---|
| CPU 运行模式： | 32-bit, 64-bit |
| CPU: | 16 |
| 在线 CPU 列表： | 0-15 |
| 型号名称： | AMD Ryzen 7 7840HS w/ Radeon 780M |
| CPU MHz： | 3792.879 |
| L1d 缓存： | 512 KiB |
| L1i 缓存： | 512 KiB |
| L2 缓存： | 16 MiB |
| L3 缓存： | 256 MiB |
| 系统： | Win10 |
| IDE： | VS2019 |
测试工具和方法
工具
- void RandomArray_Generator(int* a, int n)：随机数生成器
- void Cost(std::function<void(void)> func)：计算函数执行时间花销。使用包装器接收任意可调用对象
测试方法
计算1000000个随机数，有序数，逆序数，重复数插入的时间开销。
void RandomArray_Generator(int* a, int n) { std::random_device rnd;//random num device //效率低，只用于生成种子 std::mt19937 rng(rnd()); //random num generator -- 生成随机数 std::uniform_int_distribution<int> uni(0, 1000000000);//整型区间筛选 //[0-N]有6成为不重复,4成重复 --若需要9成不重复需要扩大筛选范围为10倍的N,即插入N需筛选10N //int a[] = { 3,1,8,4,2,7,5,9,6,0 }; //自定义数组 int size = n; for (int i = 0; i < size; i++) { a[i] = uni(rng); //随机数 //a[i] = size - i; //逆序 //a[i] = i; //正序 //a[i] = size/2; //重复数 if (i % 10000 == 0) { a[i] = uni(rng); //插入一些随机数 } } } void Cost(std::function<void(void)> func) { auto begin = std::chrono::high_resolution_clock::now(); func(); auto end = std::chrono::high_resolution_clock::now(); std::chrono::duration<double> cost = end - begin; std::cout<<cost.count()<<"/s" << std::endl; } void InsertTest(AVLTree<int,int>& t, int* a, int size) { for (int i = 0; i < size; i++) { t.Insert(std::make_pair(a[i], a[i])); //if (t.IsBalance() == false) assert(false); } } int main() { //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 }; //int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14 }; int size = 1000000; int* a = new int[size]; RandomArray_Generator(a,size); AVLTree<int, int> t; InsertTest(t,a,size); Cost([&](){std::cout<<"cost: ";InsertTest(t, a, size); }); //t.InOrder(); std::cout<<std::boolalpha; std::cout << "是否平衡: " << t.IsBalance() << std::endl; } 测试结果：
-
随机数
-
逆序数
-
正序数
-
重复数
![洛谷 P11345 [KTSC 2023 R2] 基地简化 题解](http://www.itfaba.com/wp-content/themes/kemi/timthumb.php?src=http://www.itfaba.com/wp-content/themes/kemi/img/random/1.jpg&w=218&h=124&zc=1)
