阅读翻译Mathematics for Machine Learning之2.8 Affine Subspaces
关于：
- 首次发表日期：2024-07-24
- Mathematics for Machine Learning官方链接： https://mml-book.com
- ChatGPT和KIMI机翻，人工润色
- 非数学专业，如有错误，请不吝指出
2.8 仿射空间
接下来，我们将更详细地考察从原点偏移的空间，即不再是向量子空间的空间。此外，我们还将简要讨论这些仿射空间之间映射的性质，这些映射类似于线性映射。
备注。在机器学习文献中，线性和仿射之间的区别有时并不明确，以至于我们可以发现将仿射空间/映射称为线性空间/映射的参考文献。
2.8.1 仿射空间
定义 2.25（仿射子空间）。设 (V) 为一个向量空间，(boldsymbol{x}_0 in V)，(U subseteq V) 为一个子空间。那么子集
称为 (V) 的仿射子空间或线性流形（linear manifold）。(U) 称为方向或方向空间（direction space），(boldsymbol{x}_0) 称为支点（support point）。在第12章中，我们将这种子空间称为超平面。
注意，如果 (boldsymbol{x}_0 notin U)，则仿射子空间的定义排除了 (mathbf{0})。因此，对于 (boldsymbol{x}_0 notin U)，仿射子空间不是 (V) 的（线性）子空间（向量子空间）。
仿射子空间的例子有 (mathbb{R}^3) 中的点、线和平面，这些点、线和平面不（一定）通过原点。
备注。考虑向量空间 (V) 的两个仿射子空间 (L = boldsymbol{x}_0 + U) 和 (tilde{L} = tilde{boldsymbol{x}}_0 + tilde{U})。当且仅当 (U subseteq tilde{U}) 且 (x_0 - tilde{x}_0 in tilde{U}) 时，(L subseteq tilde{L})。
仿射子空间通常由参数描述：考虑一个 (V) 的 (k) 维仿射空间 (L = boldsymbol{x}_0 + U)。如果 (left(boldsymbol{b}_1, ldots, boldsymbol{b}_kright)) 是 (U) 的一个有序基，那么每个元素 (boldsymbol{x} in L) 都可以唯一地描述为
其中 (lambda_1, ldots, lambda_k in mathbb{R})。这种表示称为具有方向向量 (boldsymbol{b}_1, ldots, boldsymbol{b}_k) 和参数 (lambda_1, ldots, lambda_k) 的 (L) 的参数方程。
**例 2.26（仿射子空间）**
- 一维仿射子空间称为直线，可以写作 (boldsymbol{y}=boldsymbol{x}_0+lambda boldsymbol{b}_1)，其中 (lambda in mathbb{R})，(U=operatorname{span}left[boldsymbol{b}_1right] subseteq mathbb{R}^n) 是 (mathbb{R}^n) 的一维子空间。这意味着直线由一个支点 (boldsymbol{x}_0) 和一个定义方向的向量 (boldsymbol{b}_1) 定义。参见图 2.13 了解示意图。
- (mathbb{R}^n) 的二维仿射子空间称为平面。平面的参数方程为 (boldsymbol{y}=boldsymbol{x}_0+lambda_1 boldsymbol{b}_1+lambda_2 boldsymbol{b}_2)，其中 (lambda_1, lambda_2 in mathbb{R})，(U=operatorname{span}left[boldsymbol{b}_1, boldsymbol{b}_2right] subseteq mathbb{R}^n)。这意味着平面由一个支点 (boldsymbol{x}_0) 和两个线性独立的向量 (boldsymbol{b}_1, boldsymbol{b}_2) 定义，这两个向量张成方向空间（span the direction space）。
- 在 (mathbb{R}^n) 中，((n-1)) 维仿射子空间被称为超平面，相应的参数方程为 (boldsymbol{y}=boldsymbol{x}_0+sum_{i=1}^{n-1} lambda_i boldsymbol{b}_i)，其中 (boldsymbol{b}_1, ldots, boldsymbol{b}_{n-1}) 构成 (mathbb{R}^n) 的一个 ((n-1)) 维子空间 (U) 的基。这意味着超平面由一个支点 (boldsymbol{x}_0) 和 ((n-1)) 个线性独立的向量 (boldsymbol{b}_1, ldots, boldsymbol{b}_{n-1}) 定义，这些向量张成方向空间。在 (mathbb{R}^2) 中，直线也是超平面。在 (mathbb{R}^3) 中，平面也是超平面。
备注（非齐次线性方程组和仿射子空间）。对于 (boldsymbol{A} in mathbb{R}^{m times n}) 和 (boldsymbol{x} in mathbb{R}^m)，线性方程组 (boldsymbol{A} boldsymbol{lambda}=boldsymbol{x}) 的解要么是空集，要么是 (mathbb{R}^n) 中维度为 (n-operatorname{rk}(boldsymbol{A})) 的仿射子空间。特别地，当 (left(lambda_1, ldots, lambda_nright) neq (0, ldots, 0)) 时，线性方程 (lambda_1 boldsymbol{b}_1 + ldots + lambda_n boldsymbol{b}_n = boldsymbol{x}) 的解是 (mathbb{R}^n) 中的一个超平面。
在 (mathbb{R}^n) 中，每个 (k) 维仿射子空间都是非齐次线性方程组 (boldsymbol{A x}=boldsymbol{b}) 的解，其中 (boldsymbol{A} in mathbb{R}^{m times n})，(boldsymbol{b} in mathbb{R}^m) 并且 (operatorname{rk}(boldsymbol{A})=n-k)。回想一下，对于齐次方程组 (boldsymbol{A x}=mathbf{0})，解是一个向量子空间，我们也可以将其视为一个特殊的仿射空间，其支点为 (boldsymbol{x}_0=mathbf{0})。
2.8.2 仿射映射
类似于我们在 2.7 节讨论的向量空间之间的线性映射，我们可以在两个仿射空间之间定义仿射映射。线性映射和仿射映射密切相关。因此，我们从线性映射中已经知道的许多性质，例如线性映射的复合（composition）是一个线性映射，也适用于仿射映射。
定义 2.26（仿射映射）。对于两个向量空间 (V, W)，一个线性映射 (Phi: V rightarrow W)，以及 (boldsymbol{a} in W)，映射
是从 (V) 到 (W) 的仿射映射。向量 (boldsymbol{a}) 被称为 (phi) 的平移向量。
- 每一个仿射映射 (phi: V rightarrow W) 也是线性映射 (Phi: V rightarrow W) 和 (W) 中的平移 (tau: W rightarrow W) 的复合，使得 (phi = tau circ Phi)。映射 (Phi) 和 (tau) 是唯一确定的（uniquely determined）。
- 仿射映射 (phi: V rightarrow W, phi^{prime}: W rightarrow X) 的复合 (phi^{prime} circ phi) 是仿射的。
- 如果 (phi) 是双射的，仿射映射保持几何结构不变。它们还保留维度和平行性。
