「学习笔记」KMP 算法

由于新文章的做法与旧文章不同, 因此 KMP 算法仍保留旧文章, 且经过模板题测验, 新的做法明显慢于旧的做法, 但是, 新做法更好理解.

前置知识

前缀 是指从串首开始到某个位置 (i) 结束的一个特殊子串.

真前缀 指除了 (S) 本身的 (S) 的前缀.

举例来说, 字符串 abcabeda 的所有前缀为 {a, ab, abc, abca, abcab, abcabe, abcabed, abcabeda}, 而它的真前缀为 {a, ab, abc, abca, abcab, abcabe, abcabed}.

后缀 是指从某个位置 (i) 开始到整个串末尾结束的一个特殊子串.

真后缀 指除了 (S) 本身的 (S) 的后缀.

举例来说, 字符串 abcabeda 的所有后缀为 {a, da, eda, beda, abeda, cabeda, bcabeda, abcabeda}, 而它的真后缀为 {a, da, eda, beda, abeda, cabeda, bcabeda}.

前缀函数

定义: 给定一个长度为 (n) 的字符串 (s), 其前缀函数被定义为一个长度为 (n) 的数组 nxt. 其中 nxt[i] 是子串 s[0 ~ i] 最长的相等的真前缀和真后缀的长度.

用数学语言描述如下:

[nxt left [i right ] = max_{k = 0 sim i} {s left[0 sim k - 1 right ] = s left[i - left(k - 1 right) sim i right]} ]

特别地, nxt[0] = 0, 因为不存在真前缀和真后缀.

过程

举例来说, 对于字符串 aabaaab,

nxt[0] = 0, a 没有真前缀和真后缀.

nxt[1] = 1, aa 只有一对相等的真前缀和真后缀: a, 长度为 (1).

nxt[2] = 0, aab 没有相等的真前缀和真后缀.

nxt[3] = 1, aaba 只有一对相等的真前缀和真后缀: a, 长度为 (1).

nxt[4] = 2, aabaa 相等的真前缀和真后缀有 a, aa, 最长的长度为 (2).

nxt[5] = 2, aabaaa 相等的真前缀和真后缀有 a, aa, 最长的长度为 (2).

nxt[6] = 3, aabaaab 相等的真前缀和真后缀只有 aab, 最长的长度为 (3).

暴力求法

cin >> s1; len1 = s1.length(); for (int i = 1; i < len1; ++ i) { 	for (int j = i; j; -- j) {     	if (s1.substr(0, j) == s1.substr(i - (j - 1), j)) { 			nxt[i] = j; 			break ; 		} 	} } 

优化

第一个重要的观察是 相邻的前缀函数值至多增加 (1).

参照下图所示, 只需如此考虑: 当取一个尽可能大的 nxt[i + 1] 时, 必然要求新增的 s[i + 1] 也与之对应的字符匹配, 即 s[i + 1] = s[nxt[i]], 此时 s[i + 1] = s[i] + 1.

[underbrace{overbrace{s_0 ~ s_1 ~ s_2}^{nxt[i] = 3} ~ s_3}_{nxt[i+1] = 4} ~ dots ~ underbrace{overbrace{s_{i-2} ~ s_{i-1} ~ s_{i}}^{nxt[i] = 3} ~ s_{i+1}}_{nxt[i+1] = 4} ]

所以当移动到下一个位置时, 前缀函数的值要么增加一, 要么维持不变, 要么减少.

当 s[i+1] != s[nxt[i]] 时, 我们希望找到对于子串 s[0 ~ i], 仅次于 nxt[i] 的第二长度 (j), 使得在位置 (i) 的前缀性质仍得以保持, 也即 s[0 ~ (j - 1)] = s[(i - j + 1) ~ i]：

[overbrace{underbrace{s_0 ~ s_1}_j ~ s_2 ~ s_3}^{nxt[i]} ~ dots ~ overbrace{s_{i-3} ~ s_{i-2} ~ underbrace{s_{i-1} ~ s_{i}}_j}^{nxt[i]} ~ s_{i+1} ]

如果我们找到了这样的长度 (j), 那么仅需要再次比较 s[i + 1] 和 s[j]. 如果它们相等, 那么就有 nxt[i + 1] = j + 1. 否则, 我们需要找到子串 s[0 ~ i] 仅次于 (j) 的第二长度 (j_{2}), 使得前缀性质得以保持, 如此反复, 直到 (j = 0). 如果 s[i + 1] != s[0], 则 nxt[i + 1] = 0.

观察上图可以发现, 因为 s[0 ~ nxt[i] - 1] = s[i - nxt[i] + 1 ~ i], 所以对于 s[0 ~ i] 的第二长度 (j), 有这样的性质:

[overbrace{underbrace{s_0 ~ s_1}_j ~ s_2 ~ underbrace{s_3 ~ s_4}_j}^{nxt[i]} ~ dots ~ overbrace{s_{i-4} ~ s_{i-3} ~ s_{i-2} ~ underbrace{s_{i-1} ~ s_{i}}_j}^{nxt[i]} ~ s_{i+1} ]

s[0 ~ j - 1] = s[i - j + 1 ~ i]= s[nxt[i] - j ~ nxt[i] - 1]
也就是说 (j) 等价于子串 s[nxt[i] - 1] 的前缀函数值 (你可以把上面的 (i) 换成 nxt[i] - 1), 即 j = nxt[nxt[i] - 1]. 同理, 次于 (j) 的第二长度等价于 s[j - 1] 的前缀函数值.

cin >> s1; len1 = s1.length(); for (int i = 1; i < len1; ++ i) {     int j = nxt[i - 1]; 	while (j && s1[i] != s1[j]) { 		j = nxt[j - 1]; 	} 	if (s1[i] == s1[j]) { 		++ j; 	} 	nxt[i] = j; } 

KMP 算法

给定一个文本 (t) 和一个字符串 (s), 我们尝试找到并展示 (s) 在 (t) 中的所有出现.

为了简便起见, 我们用 (n) 表示字符串 (s) 的长度, 用 (m) 表示文本 (t) 的长度.

我们构造一个字符串 (s) + # + (t), 其中 # 为一个既不出现在 (s) 中也不出现在 (t) 中的分隔符.

接下来计算该字符串的前缀函数. 现在考虑该前缀函数除去最开始 (n + 1) 个值 (即属于字符串 (s) 和分隔符的函数值) 后其余函数值的意义. 根据定义，nxt[i] 为右端点在 (i) 且同时为一个前缀的最长真子串的长度, 具体到我们的这种情况下, 其值为与 (s) 的前缀相同且右端点位于 (i) 的最长子串的长度. 由于分隔符的存在, 该长度不可能超过 (n). 而如果等式 nxt[i] = n 成立, 则意味着 (s) 完整出现在该位置 (即其右端点位于位置 (i)). 注意该位置的下标是对字符串 (s) + # + (t) 而言的.

因此如果在某一位置 (i) 有 nxt[i] = n 成立, 则字符串 (s) 在字符串 (t) 的 (i - (n - 1) - (n + 1) = i - 2n) 处出现.

正如在前缀函数的计算中已经提到的那样, 如果我们知道前缀函数的值永远不超过一特定值, 那么我们不需要存储整个字符串以及整个前缀函数, 而只需要二者开头的一部分. 在我们这种情况下这意味着只需要存储字符串 (s) + # 以及相应的前缀函数值即可. 我们可以一次读入字符串 (t) 的一个字符并计算当前位置的前缀函数值.

因此 Knuth–Morris–Pratt 算法（简称 KMP 算法）用 (O_{n + m}) 的时间以及 (O_{n}) 的内存解决了该问题.

/*   The code was written by yifan, and yifan is neutral!!!  */  #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll;  template<typename T> inline T read() { 	T x = 0; 	bool fg = 0; 	char ch = getchar(); 	while (ch < '0' || ch > '9') { 		fg |= (ch == '-'); 		ch = getchar(); 	} 	while (ch >= '0' && ch <= '9') { 		x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); 		ch = getchar(); 	} 	return fg ? ~x + 1 : x; }  const int N = 1e6 + 5;  int nxt[N << 1]; char s1[N], s2[N], cur[N << 1];  inline void get_nxt(char* s) { 	int len = strlen(s); 	for (int i = 1; i < len; ++ i) { 		int j = nxt[i - 1]; 		while (j && s[i] != s[j]) { 			j = nxt[j - 1]; 		} 		if (s[i] == s[j]) { 			++ j; 		} 		nxt[i] = j; 	} }  int main() { 	cin >> s1 >> s2; 	scanf("%s%s", s1, s2); 	strcpy(cur, s2); 	strcat(cur, "#"); 	strcat(cur, s1); 	get_nxt(cur); 	int l1 = strlen(s1), l2 = strlen(s2); 	for (int i = l2 + 1; i <= l1 + l2; ++ i) { 		if (nxt[i] == l2) { 			cout << i - 2 * l2 + 1 << 'n'; 		} 	} 	for (int i = 0; i < l2; ++ i) { 		cout << nxt[i] << ' '; 	} 	return 0; }