【技术积累】算法中的贪心算法【一】

贪心算法是什么

贪心算法是一种常见的算法思想，主要应用于优化问题中，特别是在计算机科学和运筹学领域中。贪心算法的核心思想是每一步都选择当前最好的选项，从而得到全局最优解。

贪心算法通常包括以下步骤：

1. 确定问题的最优子结构：即在问题中寻找那些可以自行解决的子问题。

2. 开始构建解决方案：从问题的初始状态开始，按照某种规则选择一个最优解，并将其添加到中间方案中。该步骤不断重复，直到找到全局最优解。

3. 判断可行性：为了确保得到一个全局最优解，需要在每个构建解决方案的步骤中，检查得到的局部最优解是否是可行的。如果当前的局部最优解无法满足问题的限制条件，则需要放弃此局部最优解，重新开始构建方案。

贪心算法的优点是输入数据越大，运行时间越短；同时，由于贪心算法的设计都是局部的最优决策，不是全局的最优决策，因此可能不会得到最优解，但通常会得到接近最优解的解决方案。

贪心算法适用于一些特殊的算法场景，如图论中的最小生成树算法、哈夫曼编码等。同时，在一些工业设计、物流计划及经济学领域中也有应用。

贪心算法需要注意的问题是不能保证一定得到全局最优解，有可能会导致次优解的出现。因此，在具体应用中，需要充分了解问题的性质，深入分析问题才能设计出较好的贪心算法。

旅行商问题

一个旅行商要拜访n个城市，求他走的最短路径。

解题思路：

1. 随意选择一个城市作为起点
2. 从该城市出发，依次经过还未访问的最近的城市
3. 计算路径长度，并记录已访问的城市
4. 重复步骤2-3，直到所有城市都被访问
5. 返回起点城市，路径长度即为最短路径

// cities为城市数量，dist为城市间距离矩阵 function TSP (cities, dist)     visited = [false] * cities // 初始化所有城市未被访问     current_city = 0 // 从城市0开始     visited[current_city] = true // 标记当前城市为已访问     path = [current_city] // 记录遍历路径     total_distance = 0 // 路径总距离     while true:         if len(path) == cities: // 若所有城市都已访问过，则返回起点城市并计算路径总距离             total_distance += dist[current_city][0] // 加上最后一个城市到起点城市的距离             path.append(0)             return path, total_distance         next_city = -1 // 下一个要访问的城市         min_distance = Inf // 到下一个城市路径的最小距离         for i in range(cities):             if not visited[i] and dist[current_city][i] < min_distance:                 next_city = i                 min_distance = dist[current_city][i]         current_city = next_city // 更新当前城市         visited[current_city] = true // 标记新城市为已访问         path.append(current_city) // 记录经过的城市         total_distance += min_distance // 累计最小距离

部分背包问题

有n个物品和一个容量为C的背包，每个物品都有自己的价值和重量，求装入背包的物品的最大价值。

1.计算每个物品的性价比（价值/重量）。

2.将物品按性价比从高到低排序。

3.从性价比最高的物品开始，依次放入背包，直到背包装满或所有物品都放入背包。

function fractional_knapsack(n, item, C) // n表示物品数量，item为物品数组，C为背包容量 for i from 1 to n do item[i].ratio = item[i].value / item[i].weight // 计算每个物品的性价比   sort item by decreasing ratio // 将物品按性价比从高到低排序  total_value = 0 for i from 1 to n do     if C >= item[i].weight then         total_value += item[i].value         C -= item[i].weight         // 如果背包容量可以放下物品i，则将物品i完全放入背包     else         total_value += C * item[i].ratio         break         // 否则将物品i按比例分割，在背包中放入一部分         // 直到背包装满或物品i全部放入  return total_value // 返回装入背包的物品的最大价值

区间调度问题

给定n个区间，求用尽可能少的区间覆盖整个区间的最大数量。

1. 首先按照区间结束时间的顺序将所有区间排序（从小到大），设排序后的区间序列为intervals。
2. 初始化变量end为区间intervals[0]的结束时间，计数器count为1，表示第一个区间一定要选。
3. 遍历排序后的区间序列intervals，如果当前区间的开始时间大于等于end，则选择该区间，将end更新为该区间的结束时间，计数器count加1。
4. 最后输出计数器count即为最大数量。

sort(intervals) // 对区间按照结束时间进行排序 end = intervals[0].end // 初始化end为第一个区间的结束时间 count = 1 // 初始化计数器count为1 for i in range(1, intervals.size()): if intervals[i].start >= end: count += 1 end = intervals[i].end print(count) // 输出最大数量

最小罚款问题

某市道路有n个路口需要维修，第i个路口在时间ti - li到ti + li之间维修，若在该时段经过会被罚款wi。求如何安排维修时间，使得罚款总额最小。

1. 将每个路口按照维修起始时间递增排序
2. 遍历所有路口，维护一个区间集合，表示当前需要维修的路口时间段
3. 对于每个路口，如果它的维修时间段与当前区间集合存在交集，则将交集部分取出，并且计算该部分的罚款总额
4. 将该路口的维修时间段加入当前区间集合，维护集合的增序，重复步骤3，直至处理完所有路口

# 将每个路口按照维修起始时间递增排序 sorted_intervals = sorted(intervals, key=lambda x: x[0])  # 初始：空集合 s，罚款总额 total = 0 s = set() total = 0  # 遍历所有路口 for interval in sorted_intervals:     # 维修时间段 [ti-li, ti+li] 表示为区间 [l,r]     l, r, w = interval      # 逐个处理当前区间集合中的所有区间     remove_intervals = set()     for i in s:         # 计算 区间 interval 与 i 的交集         a, b = max(l, i[0]), min(r, i[1])         if a <= b:             # 将交集 [a,b] 内的路口从集合 s 中删除             remove_intervals.add(i)             # 将交集内的罚款总额加入 total             total += w * (b - a + 1)      # 从集合 s 中删除所有交集区间     s -= remove_intervals     # 将区间 [l,r] 加入集合 s     s.add((l, r))  # 对于集合 s 中所有区间，以左端点为第一关键字，右端点为第二关键字进行排序 s = sorted(s, key=lambda x: (x[0], x[1]))  # 返回罚款总额 return total

跳跃游戏

给定一个数组，数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度，求是否可以到达最后一个元素。

1. 记录一个变量max_reach表示当前所能到达的最远距离，初始值为第一个元素的距离。

2. 对数组从第二个元素开始遍历： a. 如果当前位置超出了max_reach的范围，则说明无法到达最后一个元素，返回false。 b. 否则，将当前位置能到达的最远距离和max_reach取最大值，更新max_reach。

3. 遍历结束后，如果max_reach能够到达最后一个元素，则返回true；否则，返回false。

function canJump(nums) {     let max_reach = nums[0];     for (let i = 1; i < nums.length; i++) {         if (i > max_reach) {             return false;         }         max_reach = Math.max(max_reach, i + nums[i]);     }     return max_reach >= nums.length - 1; }

化学物质混合问题

有n种化学物质，需要混合制成一种新的化学物质，各种化学物质有自己的份量和价格，求最小的制作成本。

1. 首先将各种化学物质按价格从小到大排序。

2. 然后从价格最低的化学物质开始，依次按其份量的比例将其混合到目标物质中。

3. 如果已混入的各种化学物质份量之和等于目标物质的总份量，则制作完成；否则继续将价格次低的化学物质混入。

4. 直到制作完成或者所有化学物质都已混入为止。

// 输入: // chemicals: 化学物质数组，包括每种物质的份量和价格 // target_amount: 目标物质的总份量 // 注：代码中的by_price为排序关键字，需要根据具体实现进行定义。   function mixedChemicals(chemicals[], target_amount):   // 按价格从小到大排序   sort(chemicals, by_price)    i = 0 // 当前混入的化学物质下标   total = 0 // 已混入的各种化学物质总份量之和   cost = 0 // 制作成本    // 按比例依次混入各种化学物质   while (total < target_amount) and (i < len(chemicals)):     // 每次混入化学物质的份量     amount = min(target_amount - total, chemicals[i].amount)     // 每次混入的成本     unit_cost = chemicals[i].price / chemicals[i].amount     // 更新总成本     cost += amount * unit_cost     // 更新已混入的总份量     total += amount     // 更新当前混入的化学物质下标     i += 1    // 判断是否制作成功   if total == target_amount:     return cost   else:     return '制作失败'

资源分配问题

1. 给定n个资源和m个任务，每个任务需要一定量的资源，其中一些任务是必须完成的，如何分配资源使得完成必须任务的代价最小。
2. 将所有任务按是否为必须任务分成两组：必须完成的任务和非必须任务。
3. 对必须完成的任务按照所需资源从大到小排序。
4. 从资源数最大的必须任务开始，依次分配资源，直到分配完毕或无法完成必须任务。
5. 对剩余的非必须任务按照所需资源从大到小排序。
6. 依次给非必须任务分配资源，直到分配完毕或无法完成任务。

//将所有任务按是否为必须任务分成两组：必须完成的任务和非必须任务。 for each task: if task is mandatory: add task to mandatory_tasks else: add task to optional_tasks    //对必须完成的任务按照所需资源从大到小排序。 sort(mandatory_tasks, by resource needed, descending)    //从资源数最大的必须任务开始，依次分配资源，直到分配完毕或无法完成必须任务。 for each task in mandatory_tasks: if task can be completed: allocate resources to task else: break    //对剩余的非必须任务按照所需资源从大到小排序。 sort(optional_tasks, by resource needed, descending)    //依次给非必须任务分配资源，直到分配完毕或无法完成任务。 for each task in optional_tasks: if task can be completed: allocate resources to task else: break