Ceres 自动求导解析-从原理到实践
目录
1.0 前言
Ceres 有一个自动求导功能，只要你按照Ceres要求的格式写好目标函数，Ceres会自动帮你计算精确的导数（或者雅克比矩阵），这极大节约了算法开发者的时间，但是笔者在使用的时候一直觉得这是个黑盒子，特别是之前在做深度学习的时候，神经网络本事是一个很盒模型了，再加上 pytorch 的自动求导，简直是黑上加黑。现在转入视觉SLAM方向，又碰到了 Ceres 的自动求导，是时候揭开其真实的面纱了。知其然并知其所以然才是一名算法工程师应有的基本素养。
2.0 Ceres求导简介
Ceres 一共有三种求导的方式提供给开发者，分别是：
-
解析求导，也就是手动计算出导数的解析形式。
例如有如下函数;
[y = frac{b_1}{(1+e^{b_2-b_3x})^{1/b_4}} ]构建误差函数：
[begin{split}begin{align} E(b_1, b_2, b_3, b_4) &= sum_i f^2(b_1, b_2, b_3, b_4 ; x_i, y_i)\ &= sum_i left(frac{b_1}{(1+e^{b_2-b_3x_i})^{1/b_4}} - y_iright)^2\ end{align}end{split} ]对待优化变量的导数为：
[begin{split}begin{align} D_1 f(b_1, b_2, b_3, b_4; x,y) &= frac{1}{(1+e^{b_2-b_3x})^{1/b_4}}\ D_2 f(b_1, b_2, b_3, b_4; x,y) &= frac{-b_1e^{b_2-b_3x}}{b_4(1+e^{b_2-b_3x})^{1/b_4 + 1}} \ D_3 f(b_1, b_2, b_3, b_4; x,y) &= frac{b_1xe^{b_2-b_3x}}{b_4(1+e^{b_2-b_3x})^{1/b_4 + 1}} \ D_4 f(b_1, b_2, b_3, b_4; x,y) & = frac{b_1 logleft(1+e^{b_2-b_3x}right) }{b_4^2(1+e^{b_2-b_3x})^{1/b_4}} end{align}end{split} ] -
数值求导，当对变量增加一个微小的增量，然后观察此时的残差和原先残差的下降比例即可，其实就是导数的定义。
[Df(x) = lim_{h rightarrow 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h} ]当然其实也有两种形式对导数进行数值上的近似，第一种是Forward Differences：
[Df(x) approx frac{f(x + h) - f(x)}{h} ]第二种是 Central Differences：
[Df(x) approx frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h} ]Ceres 的官方文档上是认为第二种比第一种好的，但是其实官方还介绍了第三种，这里就不详说了，感兴趣的可以去看官方文档：Ridders’ Method。
这里有三种数值微分方法的效果对比，从右向左看：
效果依次是 (Ridders > Central > Forwad)
- 第三种则是今天要介绍的主角，自动求导。
3.0 Ceres 自动求导原理
3.1 官方解释
其实官方对自动求导做出了解释，但是笔者觉得写的不够直观，比较抽象，不过既然是官方出品，还是非常有必要去看一看的。http://ceres-solver.org/automatic_derivatives.html。
3.2 自我理解
(quad)这里笔者根据网上和官方的资料整理了一下自己的理解。Ceres 自动求导的核心是运算符的重载与Ceres自有的 Jet 变量。
举一个例子：
函数 (mathrm{f}(mathrm{x})=mathrm{h}(mathrm{x}) * mathrm{~g}(mathrm{x})) , 他的目标函数值为 (mathrm{h}(mathrm{x}) * mathrm{~g}(mathrm{x})) , 导数为
[mathrm{f}^{prime}(mathrm{x})=mathrm{h}^{prime}(mathrm{x}) mathrm{g}(mathrm{x})+mathrm{h}(mathrm{x}) mathrm{g}^{prime}(mathrm{x}) ]
其中 (h(x)), (g(x)) 都是标量函数.
如果我们定义一种数据类型,
[Data { double value, double derived } ]
并且对于数据类型 Data，重载乘法运算符
[data1*data2=begin{bmatrix} data1.value*data2.value \ data1.derived*data2.value+data1.value*data2.derived end{bmatrix} ]
令 (h(x) =[h(x),{h(x)}' ] , g(x)=[g(x),{g(x)' }])。(f(x)=h(x) * g(x)), 那么f_x.derived 就是(f(x))的导数，f_x.value 即为(f(x))的数值。value 储存变量的函数值, derived 储存变量对 (mathrm{x}) 的导数。类似，如果我们对数据类型 Data 重载所有可能用到的运算符. “(+- * / log , exp , cdots)” 。那么在变量 (h(x),g(x))经过任意次运算后，(result=h(x)+g(x)*h(x)+exp(h(x))…), 任然能获得函数值 result.value 和他的导数值 result.derived，这就是Ceres 自动求导的原理。
上面讲的都是单一自变量的自动求导，对于多元函数(f(x_i))。对于n 元函数，Data 里面的 double derived 就替换为 double* derived，derived[i] 为对于第i个自变量的导数值。
并且对于数据类型 Data，乘法运算符重载为
[data1*data2=begin{bmatrix} data1.value*data2.value \ derived[i]=data1.derived[i]*data2.value+data1.value*data2.derived[i] end{bmatrix} ]
其余的运算符重载方法也做相应改变。这样对多元函数的自动求导问题也就解决了。Ceres 里面的Jet 数据类型类似于 这里Data 类型，并且Ceres 对Jet 数据类型进行了几乎所有数学运算符的重载，以达到自动求导的目的。
4.0 实践
- 以下所有的代码实现都已经开源
https://github.com/weihaoysgs/bal_solver_sim_ceres
4.1 Jet 的实现
这里我们模仿 Ceres 实现了 Jet ，并准备了两个具体的示例程序，Jet 具体代码在 ceres_jet.hpp 中，包装成了一个头文件，在使用的时候进行调用即可。这里也包含了一个 ceres_rotation.hpp 的头文件，是为了我们的第二个例子实现。具体代码如下：
ceres_jet.hpp
#ifndef _CERES_JET_HPP__ #define _CERES_JET_HPP__ #include <math.h> #include <stdio.h> #include <eigen3/Eigen/Core> #include <eigen3/Eigen/Dense> #include <eigen3/Eigen/Sparse> #include "eigen3/Eigen/Eigen" #include "eigen3/Eigen/SparseQR" #include <fstream> #include <iostream> #include <map> #include <queue> #include <set> #include <vector> #include "ceres_rotation.hpp" #include "algorithm" #include "stdlib.h" template <int N> struct jet { Eigen::Matrix<double, N, 1> v; double a; jet() : a(0.0) {} jet(const double& value) : a(value) { v.setZero(); } EIGEN_STRONG_INLINE jet(const double& value, const Eigen::Matrix<double, N, 1>& v_) : a(value), v(v_) { } jet(const double value, const int index) { v.setZero(); a = value; v(index, 0) = 1.0; } void init(const double value, const int index) { v.setZero(); a = value; v(index, 0) = 1.0; } }; /****************jet overload******************/ // for the camera BA,the autodiff only need overload the operator :jet+jet // number+jet -jet jet-number jet*jet number/jet jet/jet sqrt(jet) cos(jet) // sin(jet) +=(jet) overload jet + jet template <int N> inline jet<N> operator+(const jet<N>& A, const jet<N>& B) { return jet<N>(A.a + B.a, A.v + B.v); } // end jet+jet // overload number + jet template <int N> inline jet<N> operator+(double A, const jet<N>& B) { return jet<N>(A + B.a, B.v); } // end number+jet template <int N> inline jet<N> operator+(const jet<N>& B, double A) { return jet<N>(A + B.a, B.v); } // end number+jet // overload jet-number template <int N> inline jet<N> operator-(const jet<N>& A, double B) { return jet<N>(A.a - B, A.v); } // overload number * jet because jet *jet need A.a *B.v+B.a*A.v.So the number // *jet is required template <int N> inline jet<N> operator*(double A, const jet<N>& B) { return jet<N>(A * B.a, A * B.v); } template <int N> inline jet<N> operator*(const jet<N>& A, double B) { return jet<N>(B * A.a, B * A.v); } // overload -jet template <int N> inline jet<N> operator-(const jet<N>& A) { return jet<N>(-A.a, -A.v); } template <int N> inline jet<N> operator-(double A, const jet<N>& B) { return jet<N>(A - B.a, -B.v); } template <int N> inline jet<N> operator-(const jet<N>& A, const jet<N>& B) { return jet<N>(A.a - B.a, A.v - B.v); } // overload jet*jet template <int N> inline jet<N> operator*(const jet<N>& A, const jet<N>& B) { return jet<N>(A.a * B.a, B.a * A.v + A.a * B.v); } // overload number/jet template <int N> inline jet<N> operator/(double A, const jet<N>& B) { return jet<N>(A / B.a, -A * B.v / (B.a * B.a)); } // overload jet/jet template <int N> inline jet<N> operator/(const jet<N>& A, const jet<N>& B) { // This uses: // // a + u (a + u)(b - v) (a + u)(b - v) // ----- = -------------- = -------------- // b + v (b + v)(b - v) b^2 // // which holds because v*v = 0. const double a_inverse = 1.0 / B.a; const double abyb = A.a * a_inverse; return jet<N>(abyb, (A.v - abyb * B.v) * a_inverse); } // sqrt(jet) template <int N> inline jet<N> sqrt(const jet<N>& A) { double t = std::sqrt(A.a); return jet<N>(t, 1.0 / (2.0 * t) * A.v); } // cos(jet) template <int N> inline jet<N> cos(const jet<N>& A) { return jet<N>(std::cos(A.a), -std::sin(A.a) * A.v); } template <int N> inline jet<N> sin(const jet<N>& A) { return jet<N>(std::sin(A.a), std::cos(A.a) * A.v); } template <int N> inline bool operator>(const jet<N>& f, const jet<N>& g) { return f.a > g.a; } #endif //_CERES_JET_HPP__ ceres_rotation.hpp
#ifndef CERES_ROTATION_HPP_ #define CERES_ROTATION_HPP_ #include <iostream> template <typename T> inline T DotProduct(const T x[3], const T y[3]) { return (x[0] * y[0] + x[1] * y[1] + x[2] * y[2]); } template <typename T> inline void AngleAxisRotatePoint(const T angle_axis[3], const T pt[3], T result[3]) { const T theta2 = DotProduct(angle_axis, angle_axis); if (theta2 > T(std::numeric_limits<double>::epsilon())) { // Away from zero, use the rodriguez formula // // result = pt costheta + // (w x pt) * sintheta + // w (w . pt) (1 - costheta) // // We want to be careful to only evaluate the square root if the // norm of the angle_axis vector is greater than zero. Otherwise // we get a division by zero. // const T theta = sqrt(theta2); const T costheta = cos(theta); const T sintheta = sin(theta); const T theta_inverse = T(1.0) / theta; const T w[3] = {angle_axis[0] * theta_inverse, angle_axis[1] * theta_inverse, angle_axis[2] * theta_inverse}; // Explicitly inlined evaluation of the cross product for // performance reasons. const T w_cross_pt[3] = {w[1] * pt[2] - w[2] * pt[1], w[2] * pt[0] - w[0] * pt[2], w[0] * pt[1] - w[1] * pt[0]}; const T tmp = (w[0] * pt[0] + w[1] * pt[1] + w[2] * pt[2]) * (T(1.0) - costheta); result[0] = pt[0] * costheta + w_cross_pt[0] * sintheta + w[0] * tmp; result[1] = pt[1] * costheta + w_cross_pt[1] * sintheta + w[1] * tmp; result[2] = pt[2] * costheta + w_cross_pt[2] * sintheta + w[2] * tmp; } else { // Near zero, the first order Taylor approximation of the rotation // matrix R corresponding to a vector w and angle w is // // R = I + hat(w) * sin(theta) // // But sintheta ~ theta and theta * w = angle_axis, which gives us // // R = I + hat(w) // // and actually performing multiplication with the point pt, gives us // R * pt = pt + w x pt. // // Switching to the Taylor expansion near zero provides meaningful // derivatives when evaluated using Jets. // // Explicitly inlined evaluation of the cross product for // performance reasons. const T w_cross_pt[3] = {angle_axis[1] * pt[2] - angle_axis[2] * pt[1], angle_axis[2] * pt[0] - angle_axis[0] * pt[2], angle_axis[0] * pt[1] - angle_axis[1] * pt[0]}; result[0] = pt[0] + w_cross_pt[0]; result[1] = pt[1] + w_cross_pt[1]; result[2] = pt[2] + w_cross_pt[2]; } } #endif // CERES_ROTATION_HPP_ 4.2 多项式函数自动求导
这里我们准备了两个实践案例，一个是对下面的函数进行自动求导，求在 (f(1,2)) 处的导数。
[f(x,y)=2x^2+3y^3+3 ]
代码如下：
#include <eigen3/Eigen/Core> #include <eigen3/Eigen/Dense> #include "ceres_jet.hpp" int main(int argc, char const *argv[]) { /// f(x,y) = 2*x^2 + 3*y^3 + 3 /// 残差的维度，变量1的维度，变量2的维度 const int N = 1, N1 = 1, N2 = 1; Eigen::Matrix<double, N, N1> jacobian_parameter1; Eigen::Matrix<double, N, N2> jacobian_parameter2; Eigen::Matrix<double, N, 1> jacobi_residual; /// 模板参数为向量的维度，一定要是 N1+N2 /// 也就是总的变量的维度，因为要存储结果（残差） /// 对于每个变量的导数值 /// 至于为什么有 N1 个 jet 表示 var_x /// 假设变量 1 的维度为 N1,则残差对该变量的导数的维度是一个 N*N1 的矩阵 /// 一个 jet<N1 + N2> 只能表示变量中的某一个在当前点的导数和值 jet<N1 + N2> var_x[N1]; jet<N1 + N2> var_y[N2]; jet<N1 + N2> residual[N]; /// 假设我们求上面的方程在 (x,y)->(1.0,2.0) 处的导数值 double var_x_init_value[N1] = {1.0}; double var_y_init_value[N1] = {2.0}; for (int i = 0; i < N1; i++) { var_x[i].init(var_x_init_value[i], i); } for (int i = 0; i < N2; i++) { var_y[i].init(var_y_init_value[i], i + N1); } /// f(x,y) = 2*x^2 + 3*y^3 + 3 /// f_x` = 4x /// f_y` = 9 * y^2 residual[0] = 2.0 * var_x[0] * var_x[0] + 3.0 * var_y[0] * var_y[0] * var_y[0] + 3.0; std::cout << "residual: " << residual[0].a << std::endl; std::cout << "jacobian: " << residual[0].v.transpose() << std::endl; /// residual: 29 /// jacobian: 4 36 return 0; } -
输出结果，读者可以自己求导算一下，是正确的。
residual: 29 jacobian: 4 36
4.3 BA 问题中的自动求导
这里是用的 Bal 数据集中的某个观测构建的误差项求导
#include "ceres_jet.hpp" class costfunction { public: double x_; double y_; costfunction(double x, double y) : x_(x), y_(y) {} template <class T> void Evaluate(const T* camera, const T* point, T* residual) { T result[3]; AngleAxisRotatePoint(camera, point, result); result[0] = result[0] + camera[3]; result[1] = result[1] + camera[4]; result[2] = result[2] + camera[5]; T xp = -result[0] / result[2]; T yp = -result[1] / result[2]; T r2 = xp * xp + yp * yp; T distortion = 1.0 + r2 * (camera[7] + camera[8] * r2); T predicted_x = camera[6] * distortion * xp; T predicted_y = camera[6] * distortion * yp; residual[0] = predicted_x - x_; residual[1] = predicted_y - y_; } }; int main(int argc, char const* argv[]) { const int N = 2, N1 = 9, N2 = 3; Eigen::Matrix<double, N, N1> jacobi_parameter_1; Eigen::Matrix<double, N, N2> jacobi_parameter_2; Eigen::Matrix<double, N, 1> jacobi_residual; costfunction* costfunction_ = new costfunction(-3.326500e+02, 2.620900e+02); jet<N1 + N2> cameraJet[N1]; jet<N1 + N2> pointJet[N2]; double params_1[N1] = { 1.5741515942940262e-02, -1.2790936163850642e-02, -4.4008498081980789e-03, -3.4093839577186584e-02, -1.0751387104921525e-01, 1.1202240291236032e+00, 3.9975152639358436e+02, -3.1770643852803579e-07, 5.8820490534594022e-13}; double params_2[N2] = {-0.612000157172, 0.571759047760, -1.847081276455}; for (int i = 0; i < N1; i++) { cameraJet[i].init(params_1[i], i); } for (int i = 0; i < N2; i++) { pointJet[i].init(params_2[i], i + N1); } jet<N1 + N2>* residual = new jet<N1 + N2>[N]; costfunction_->Evaluate(cameraJet, pointJet, residual); for (int i = 0; i < N; i++) { jacobi_residual(i, 0) = residual[i].a; } for (int i = 0; i < N; i++) { jacobi_parameter_1.row(i) = residual[i].v.head(N1); jacobi_parameter_2.row(i) = residual[i].v.tail(N2); } /* real result: jacobi_parameter_1: -283.512 -1296.34 -320.603 551.177 0.000204691 -471.095 -0.854706 -409.362 -490.465 1242.05 220.93 -332.566 0.000204691 551.177 376.9 0.68381 327.511 392.397 jacobi_parameter_2: 545.118 -5.05828 -478.067 2.32675 557.047 368.163 jacobi_residual: -9.02023 11.264 */ std::cout << "jacobi_parameter_1: n" << jacobi_parameter_1 << std::endl; std::cout << "jacobi_parameter_2: n" << jacobi_parameter_2 << std::endl; std::cout << "jacobi_residual: n" << jacobi_residual << std::endl; delete (residual); return 0; } -
输出结果
jacobi_parameter_1: -283.512 -1296.34 -320.603 551.177 0.000204691 -471.095 -0.854706 -409.362 -490.465 1242.05 220.93 -332.566 0.000204691 551.177 376.9 0.68381 327.511 392.397 jacobi_parameter_2: 545.118 -5.05828 -478.067 2.32675 557.047 368.163 jacobi_residual: -9.02023 11.264
