最开始出现在 Codeforces Round #449 (Div. 1) C题 上，这位珂学家在题解中用了一种玄学的数据结构解题，开始命名为 ODT树（Old Driver Tree，老司机树，以出题者的ID命名），后来普遍称为珂朵莉树。
珂朵莉树用于解决含有区间平推操作（即将区间上的数全部变为一个数）的问题时卓有成效，在数据随机的情况下，用 set 实现复杂度为 (O(N log log N))，用链表实现复杂度为 (O(N log N))，比同类问题其他算法更优。时间复杂度证明请移步这篇文章。
本文使用 Codeforces Round #449 (Div. 1) C题 作为例题讲解珂朵莉树。
-- 威廉...
-- 怎么了？
-- 瑟尼欧里斯好像出了什么问题...
-- 我会看看的...
瑟尼欧里斯是一把由特殊护符按特定顺序排列组成的剑。
已经 (500) 年过去了，现在剑的状态很差，所以威廉决定检查一下。
瑟尼欧里斯由 (n) 片护符组成，威廉把它们排成一列，每个护符上有一个数字 (a_i)。
为了保养它，威廉需要进行 (m) 次操作。
这里有四种操作：
本题输入较为特殊，输入格式如下：
一行四个整数，分别为 (n)，(m)，(seed)，(vmax)，前两个变量意义如题目所述，后两个变量用于生成随机数据，数据生成伪代码如下
def rnd(): ret = seed seed = (seed * 7 + 13) mod 1000000007 return ret for i = 1 to n: a[i] = (rnd() mod vmax) + 1 for i = 1 to m: op = (rnd() mod 4) + 1 l = (rnd() mod n) + 1 r = (rnd() mod n) + 1 if (l > r): swap(l, r) if (op == 3): x = (rnd() mod (r - l + 1)) + 1 else: x = (rnd() mod vmax) + 1 if (op == 4): y = (rnd() mod vmax) + 1 由于数据随机，所以在区间平推操作中区间长度普遍不会太短，所以区间总个数不会太多，于是我们就考虑维护每一个这样连续的区间，区间中的数都相同。
用一个结构体来维护每一个区间的信息。
struct node { ll l, r; //区间左右端点 mutable ll v; //区间单个元素值 node(ll l, ll r, ll v) : l(l), r(r), v(v) {} bool operator< (const node &a) const { return l < a.l; } }; 在上述定义中有下面一点需要注意：
#include<set> set<node> tree; 这样你就得到了一颗啥也没有的珂朵莉树。
因为一个区间上的数不一定自始至终都是一样的，所以我们需要一个分割函数将区间分隔开，这就是 spilt 函数。
这个操作是珂朵莉树的核心操作之一，此函数有一个参数，表示要分裂的位置，我们先看代码，再解释它的运作过程。
auto spilt(ll pos) { auto it = tree.lower_bound(node(pos, 0, 0)); if(it != tree.end( ) && it -> l == pos) return it; it--; ll l = it -> l, r = it -> r, v = it -> v; tree.erase(it); tree.insert(node(l, pos - 1, v)); return tree.insert(node(pos, r, v)).first; } 首先，我们要找到一个左端点大于等于 (pos) 的区间，用一个迭代器指向它（注意，如果你使用的是c++11，auto 必须要换成 set<node>::iterator），如果当前区间的左端点等于 (pos) （并且这个区间要存在）那就说明当前区间不用分割，直接返回当前迭代器，否则就向前跳转到前一个区间，并将其分割为 ([l, pos - 1]) 和 ([pos, r]) 两个区间。
珂朵莉树的核心操作之二，也就是区间平推操作。
有了 spilt 函数，我们的实现也简单了很多，依旧是对着代码解释。
void assgin(ll l, ll r, ll v) { auto end = spilt(r + 1), start = spilt(l); tree.erase(start, end); tree.insert(node(l, r, v)); } 实现思路没什么好讲的，无非就是断开需要赋值的区间，全部删除再加入一个新的区间，重点在 spilt 的顺序上。
看上去貌似和顺序没什么关系，如果单从逻辑上看确实如此，但是如果从实现上去看就会发现问题。
假设我们要从区间 ([1, 10]) 里截取出 ([3, 7])，我们先执行 spilt(1)，现在 start 迭代器指向的是区间 ([3, 10])，然后我们再执行 spilt(8)，end 则指向了区间 ([8，10])，此时我们发现 start 指向的迭代器被第二次 spilt 操作 erase 掉了，所以调用时可能会 RE。（之所以是可能，是因为这东西比较玄学，有可能一会 RE，一会 AC，为了避免这种麻烦，还是规范写法较为稳妥）
如果还是不理解，就结合下图再多看几遍上一段。
核心代码就上面两个，剩下的乱搞就行。
void add(ll l, ll r, ll x) { //区间加操作 auto end = spilt(r + 1), start = spilt(l); for(auto it = start; it != end; it++) it -> v += x; //mulable的作用在此 } struct Rank { ll num, cnt; // 值与数量 Rank(ll num, ll cnt) : num(num), cnt(cnt) {} bool operator< (const Rank &a) const { return num < a.num; } }; ll get_rank(ll l, ll r, ll x) { //求区间第 x 大数 auto end = spilt(r + 1), start = spilt(l); vector<Rank> vec; for(auto it = start; it != end; it++) vec.push_back(Rank(it -> v, it -> r - it -> l + 1)); sort(vec.begin( ), vec.end( )); //将区间上的所有数排序，以便后续暴力查找 int i; for(i = 0; i < vec.size( ); i++) { if(vec[i].cnt < x) x -= vec[i].cnt; else break; } return vec[i].num; } ll get_power(ll l, ll r, ll x, ll y) { //求区间 x 次方和 mod y 的值 auto end = spilt(r + 1), start = spilt(l); ll ans = 0; for(auto it = start; it != end; it++) ans = (ans + power(it -> v, x, y) * (it -> r - it -> l + 1) % y) % y; //power 为快速幂函数 return ans; } 请在确保自己理解上述所有内容的情况下阅读
#include<algorithm> #include<iostream> #include<vector> #include<cstdio> #include<set> using namespace std; typedef long long ll; const int MOD = 1e9 + 7; ll n, m, seed, vmax; struct node { ll l, r; mutable ll v; node(ll l, ll r, ll v) : l(l), r(r), v(v) {} bool operator< (const node &a) const { return l < a.l; } }; struct Rank { ll num, cnt; Rank(ll num, ll cnt) : num(num), cnt(cnt) {} bool operator< (const Rank &a) const { return num < a.num; } }; set<node> tree; ll rnd( ); auto split(ll pos); void add(ll l, ll r, ll x); ll power(ll a, ll b, ll p); void assgin(ll l, ll r, ll v); ll get_rank(ll l, ll r, ll x); ll get_power(ll l, ll r, ll x, ll y); int main( ) { cin >> n >> m >> seed >> vmax; for(int i = 1; i <= n; i++) tree.insert(node(i, i, rnd( ) % vmax + 1)); for(int i = 1; i <= m; i++) { ll op, l, r, x, y; op = rnd( ) % 4 + 1; l = rnd( ) % n + 1; r = rnd( ) % n + 1; if(l > r) swap(l, r); if(op == 3) x = rnd( ) % (r - l + 1) + 1; else x = rnd( ) % vmax + 1; if(op == 4) y = rnd( ) % vmax + 1; if(op == 1) add(l, r, x); if(op == 2) assgin(l, r, x); if(op == 3) cout << get_rank(l, r, x) << endl; if(op == 4) cout << get_power(l, r, x, y) << endl; } return 0; } auto spilt(ll pos) { auto it = tree.lower_bound(node(pos, 0, 0)); if(it != tree.end( ) && it -> l == pos) return it; it--; ll l = it -> l, r = it -> r, v = it -> v; tree.erase(it); tree.insert(node(l, pos - 1, v)); return tree.insert(node(pos, r, v)).first; } void assgin(ll l, ll r, ll v) { auto end = spilt(r + 1), start = spilt(l); tree.erase(start, end); tree.insert(node(l, r, v)); } void add(ll l, ll r, ll x) { auto end = spilt(r + 1), start = spilt(l); for(auto it = start; it != end; it++) it -> v += x; } ll get_rank(ll l, ll r, ll x) { auto end = spilt(r + 1), start = spilt(l); vector<Rank> vec; for(auto it = start; it != end; it++) vec.push_back(Rank(it -> v, it -> r - it -> l + 1)); sort(vec.begin( ), vec.end( )); int i; for(i = 0; i < vec.size( ); i++) { if(vec[i].cnt < x) x -= vec[i].cnt; else break; } return vec[i].num; } ll get_power(ll l, ll r, ll x, ll y) { auto end = spilt(r + 1), start = spilt(l); ll ans = 0; for(auto it = start; it != end; it++) ans = (ans + power(it -> v, x, y) * (it -> r - it -> l + 1) % y) % y; return ans; } ll power(ll a, ll b, ll p) { ll res = 1, base = a % p; while(b) { if(b & 1) res = (res * base) % p; base = (base * base) % p; b >>= 1; } return res; } ll rnd( ) { ll res = seed; seed = (seed * 7 + 13) % MOD; return res; } 珂朵莉树的核心其实就二十行左右的代码，并不是什么很难得算法，但是由于其对于数据的要求，很少有题将其作为正解，但是考场骗分还是很有用的。
本文是本蒟蒻近期学习了珂朵莉树，为了巩固所以写下了这篇学习笔记，如果有纰漏请指出。
另外感谢本文用到的所有资料的提供者。
评论已关闭。
![洛谷 P11345 [KTSC 2023 R2] 基地简化 题解](http://www.itfaba.com/wp-content/themes/kemi/timthumb.php?src=http://www.itfaba.com/wp-content/themes/kemi/img/random/3.jpg&w=218&h=124&zc=1)
