吴恩达深度学习课程一：神经网络和深度学习第三周：浅层神经网络（二）

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本篇为第一课第三周，3.6到3.10部分的笔记内容。

经过第二周的基础补充，本周内容的理解难度可以说有了很大的降低，主要是从逻辑回归扩展到浅层神经网络，讲解相关内容，我们按部就班梳理课程内容即可，当然，依旧会尽可能地创造一个较为丝滑的理解过程。
我们继续上一篇的内容，来展开一下激活函数对浅层神经网络拟合效果的影响，并完成浅层神经网络的反向传播部分，这样，我们就大致了解了浅层神经网络相比逻辑回归，是如何提高算法性能的。

1. 浅层神经网络里的激活函数

1.1 隐藏层激活函数的作用

在逻辑回归中，我们知道，最后使用sigmoid激活函数是为了让加权和映射为概率从而实现分类效果。
而现在，如果我们仍要进行二分类，而浅层神经网络输出层的sigmoid函数已经实现了分类效果，那隐藏层再使用激活函数的作用是什么？
我们看一看如果不设隐藏层神经元的激活函数，正向传播的输出是什么形式：

首先，隐藏层只有线性组合，那么隐藏层的输出就是加权和本身:

[mathbf{Z^{[1]}} = mathbf{W^{[1]}} mathbf{X} + mathbf{b^{[1]}} ]

现在，隐藏层的加权和就是输出层的输入，即：

[mathbf{Z^{[2]}} = mathbf{W^{[2]}}( mathbf{W^{[1]}} mathbf{X} + mathbf{b^{[1]}} ) + mathbf{b^{[2]}} = mathbf{W^{[2]}}mathbf{W^{[1]}} mathbf{X}+(mathbf{W^{[2]}}mathbf{b^{[1]}} + mathbf{b^{[2]}}) quad (1 times m) ]

我们观察一下就会发现，(mathbf{Z^{[2]}}) 的实际形式没有发生任何变化，我们换一个示例看一下：

[y = 3(2x+1)+1 =6x+4 ]

可以发现，其形式依旧是“权重 × 输入 + 偏置”的线性表达式。
也就是说，无论我们堆叠多少层这样的“线性层”，最后得到的结果仍然等价于一个没有任何非线性能力的线性模型。这与逻辑回归本质上并没有区别。
在这种情况下，多层和一层的区别就相当于：

[10 = 1*2*5(多层) ]

[10 = 1*10(一层) ]

这便是激活函数的核心作用：引入非线性

1.2 激活函数如何引入非线性？

我们已经知道，在没有激活函数的情况下，神经元的输出是：

[mathbf{A^{[1]}} = mathbf{Z^{[1]}} = mathbf{W^{[1]}}mathbf{X} + mathbf{b^{[1]}} ]

而当我们加入激活函数 (g(x)) 后，输出就变成：

[mathbf{A^{[1]}} = g(mathbf{Z^{[1]}}) = g(mathbf{W^{[1]}}mathbf{X} + mathbf{b^{[1]}}) ]

因为此时，下一层的输入就变成了一个经过非线性映射的结果：

[mathbf{Z^{[2]}} = mathbf{W^{[2]}},g(mathbf{W^{[1]}}mathbf{X} + mathbf{b^{[1]}}) + mathbf{b^{[2]}} ]

这意味着：
如果 (g(x)) 是线性的（例如恒等函数 (g(z)=z)），网络整体依旧是线性关系；
而只要 (g(x)) 是非线性函数（如 Sigmoid、ReLU、tanh 等），网络整体的映射关系就无法再化简为一个单一的线性变换。
我们继续刚刚那个例子：

[y = 3(2x+1)+1 =6x+4 ]

现在我们只改一点，把激活函数换成ReLU，即：

[g(z) = max(0, z) ]

隐藏层的传播过程即为：

[Z^{[1]} = 2x + 1,quad A^{[1]} = max(0, 2x+1) ]

再输入输出层：

[Z^{[2]} = 3A^{[1]} + 1 = 3max(0, 2x+1) + 1 ]

这个时候，整体的输出函数变成：

[y = begin{cases} 6x + 4, & x > -0.5 \ 1, & x le -0.5 end{cases} ]

这就是一个分段线性函数，可以拐弯、有“折点”，不再是单一直线。
那如果再换成更复杂的激活函数呢？
这也意味着网络具备了拟合非线性关系的能力。

最后看一张图：

我们想通过图中的几个数据点进行拟合，没有激活函数，我们就只能像左侧一样画一条直线，而只有使用了激活函数，我们才能让这条直线弯曲，来实现更好拟合效果。

1.3 常见的激活函数

在了解了激活函数的作用——为神经网络引入非线性能力之后，我们来看看几种常见的激活函数及其特性。不同的激活函数，会对神经元的输出特征、梯度传播和训练效果产生显著影响。

（1）Sigmoid 函数

Sigmoid 的表达式为：

[g(z) = frac{1}{1 + e^{-z}} ]

其输出范围在 ((0, 1)) 之间，形状如“S”型曲线。
Sigmoid 的优点在于它可以将任意实数映射为 ((0,1))，非常适合二分类任务的输出层，例如预测概率。
缺点是当输入较大或较小时，梯度接近 0，容易出现梯度消失问题，导致网络难以训练。

（2）Tanh函数

Tanh 是 Sigmoid 的改进版本，其表达式为：

[g(z) = tanh(z) = frac{e^{z} - e^{-z}}{e^{z} + e^{-z}} ]

输出范围在 ((-1, 1)) 之间，同样是“S”型曲线。
Tanh 的优点在于输出均值为 0，有助于加快梯度下降的收敛，并在一定程度上缓解了梯度消失问题。
缺点在于，当输入过大或过小时，依然会出现梯度趋于 0 的饱和现象。
如果把 Sigmoid 看作“挤压到 [0,1]”，那么 Tanh 就是“挤压到 [-1,1]”，更加对称，有利于后续层学习，因此，Tanh比sigmoid更适合作为隐藏层的激活函数。

（3）ReLU函数

ReLU 是目前最常用的激活函数之一，定义为：

[g(z) = max(0, z) ]

当输入为正时，输出等于自身；当输入为负时，输出为 0。
ReLU 的优点在于计算简单，梯度传播效率高，并且在正区间保持线性，减少了梯度消失问题，从而加快训练速度。
缺点在于对于负输入，梯度恒为 0，容易出现“神经元死亡”现象，即某些神经元永远输出 0，无法更新。

（4）Leaky ReLU（带泄漏的 ReLU）

为了缓解 ReLU 的“神经元死亡”问题，便出现了 Leaky ReLU：

[g(z) = begin{cases} z, & text{if } z > 0, \ alpha z, & text{if } z leq 0. end{cases} ]

其中 (alpha) 是一个很小的常数（通常取 0.01）。Leaky ReLU 的优点在于对负区间保留一个微小的斜率，避免梯度完全为 0，从而训练更加稳定，减少“死神经元”的出现。
缺点是其输出仍然不是严格的零中心，且 (alpha) 的选取需要进行调试。

2.浅层神经网络的反向传播

我们知道，在浅层神经网络里，我们涉及到两个层级各自的权重和偏置，因此，不同于逻辑回归中的一次更新，我们这次需要在一次反向传播过程中，更新两个层级的参数。
参数的传递过程如下：

[begin{aligned} &text{隐藏层参数（4个神经元）：} \ &Delta W^{[1]}, Delta b^{[1]} ;; to ;; Delta Z^{[1]} ;; to ;; Delta A^{[1]} \ \ &text{输出层参数（1个神经元）：} \ &Delta W^{[2]}, Delta b^{[2]} ;; to ;; Delta Z^{[2]} ;; to ;; Delta A^{[2]} to ;; Delta L\ end{aligned} ]

2.1 损失函数

我们知道二分类交叉熵成本函数格式如下：

[mathcal{L} = -frac{1}{m} sum_{i=1}^{m} Big[ y^{(i)} log a^{[2](i)} + (1 - y^{(i)}) log (1 - a^{[2](i)}) Big] ]

向量化后即可表示为： $$ mathcal{L}(mathbf{A^{[2]}}, mathbf{Y}) $$
我们依旧通过损失函数，使用链式法则来计算梯度。

2.2 输出层梯度

输出层激活函数为 (sigmoid(x))
而输出层误差定义为：

[mathbf{dZ^{[2]}} = frac{partial mathcal{L}}{partial mathbf{Z^{[2]}}} ]

在第二周的推导中，我们已经知道，对于二分类交叉熵 + sigmoid，损失对加权和的导数可简化为：

[mathbf{dZ^{[2]}} = mathbf{A^{[2]}} - mathbf{Y} quad (1 times m) ]

继续通过链式法则，我们得到输出层权重和偏置的梯度（详细过程可看第二周的推导）：

[mathbf{dW^{[2]}} = frac{1}{m} mathbf{dZ^{[2]}} (mathbf{A^{[1]}})^T quad (1 times 4) ]

[mathbf{db^{[2]}} = frac{1}{m} sum_{i=1}^{m} mathbf{dZ^{[2](i)}} quad (1 times 1) ]

3.3 隐藏层梯度

对于隐藏层，这里我们便不定义具体的激活函数，用通式来展示过程：
先梳理一下我们现在有的量：

损失对输出层加权和的导数(mathbf{dZ^{[2]}})
隐藏层的加权和(mathbf{Z^{[1]}})
隐藏层的的加权和经过激活函数的输出(mathbf{A^{[1]}})
隐藏层的激活函数(g(mathbf{Z^{[1]}})) 和它的导数(g'(mathbf{Z^{[1]}}))
隐藏层的参数(mathbf{W^{[1]}}),(mathbf{b^{[1]}})

现在，我们要求隐藏层参数的梯度，首先要得到损失关于隐藏层输出的导数，即：

[mathbf{dA^{[1]}} = frac{partial mathcal{L}}{partial mathbf{A^{[1]}}} ]

再通过链式法则细化一下，我们得到：

[mathbf{dA^{[1]}} = mathbf{dZ^{[2]}}⋅ frac{partial mathbf{Z^{[2]}}}{partial mathbf{A^{[1]}}} ]

再看一眼加权和公式：

[mathbf{Z^{[2]}} = mathbf{W^{[2]}}mathbf{A^{[1]}}+ mathbf{b^{[2]}} quad (1 times m) ]

所以，通过求导我们得到：

[mathbf{dA^{[1]}} = mathbf{(W^{[2]})^T}mathbf{dZ^{[2]}},转置为了匹配维度 quad (4 times m)]

下一步，得到损失关于隐藏层加权和的输出，即：

[mathbf{dZ^{[1]}} = mathbf{dA^{[1]}}⋅ frac{partial mathbf{A^{[1]}}}{partial mathbf{Z^{[1]}}} ]

而隐藏层输出对加权和求导，其实就是激活函数的导数：(g'(mathbf{Z^{[1]}}))
因此，我们得到：

[mathbf{dZ^{[1]}} = mathbf{dA^{[1]}}⋅ g'(mathbf{Z^{[1]}}) quad (4 times m) ]

注意！这里的乘是Hadamard 乘。
Hadamard 乘激活导数 = 对每个神经元每个样本的误差单独乘上对应的激活导数
到了这一步，我们就可以得到最后的梯度：

[mathbf{dW^{[1]}} = frac{1}{m} mathbf{dZ^{[1]}} mathbf X^T quad (4 times n) ]

[mathbf{db^{[1]}} = frac{1}{m} sum_{i=1}^{m} mathbf{dZ^{[1]}_{:,i}} quad (4 times 1) ]

还没完，这里还有一点要强调，注意看这个符号：(mathbf{dZ^{[1]}_{:,i}})
我们之前的逻辑回归，以及本次传播的输出层偏置，使用的符号都是(mathbf{dZ^{(i)}}),对这个符号求平均就代表对 (m) 个样本在同一神经元上的误差求平均。
而现在，我们的隐藏层有四个神经元，由此解释一下(frac{1}{m} sum_{i=1}^{m} mathbf{dZ^{[1]}_{:,i}}) 的含义：

"(:)"代表所有行
"(:,i)"代表第 (i) 列
"(sum_{i=1}^{m} mathbf{dZ^{[1]}_{:,i}})"代表对(dZ^{[1]}) 的每一列求和，得到的结果是所有样本分别在四个隐藏神经元总误差
最后求平均值，即为平均误差，现在， 每个元素就对应一个隐藏神经元的偏置梯度。

我们也总结一下反向传播过程中各个量和其维度：

量	维度	说明
X	n × m	输入特征
W[1]	4 × n	隐藏层权重
b[1]	4 × 1 → 4×m	隐藏层偏置（广播）
Z[1]	4 × m	隐藏层线性组合
A[1]	4 × m	隐藏层激活输出
W[2]	1 × 4	输出层权重
b[2]	1 × 1 → 1×m	输出层偏置（广播）
Z[2]	1 × m	输出层线性组合
A[2]	1 × m	输出层激活输出
dZ[2]	1 × m	输出层误差
dW[2]	1 × 4	输出层权重梯度
db[2]	1 × 1	输出层偏置梯度
dA[1]	4 × m	输出层误差传回隐藏层
dZ[1]	4 × m	隐藏层误差（Hadamard乘激活导数）
dW[1]	4 × n	隐藏层权重梯度
db[1]	4 × 1	隐藏层偏置梯度