[信号与系统个人笔记]第二章 连续时间信号与系统的时域分析

Update

• 2025.8.25
  • 2.1 系统微分方程的经典解

2.1 系统微分方程的经典解

微分方程的基本概念

对于单输入单输出的(LIT)连续系统来说，描述其输入-输出关系 的数学模型是(n)阶常系数线性微分方程，一般形式为：

[a_{n}y^{(n)}(t)+a_{n-1}y^{(n-1)}(t)+dots+a_{1}y'(t)+a_{0}y(t)=b_{m}e^{(m)}(t)+b_{m-1}e^{(m-1)}(t)+dots+b_{1}e'(t)+b_{0}e(t) ]

[sum_{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}(t)=sum_{j=0}^{m}b_{j}e^{(j)}(t) ]

• 初始条件：(n)阶系统在(t=0)时候接入激励，响应在(t=0_{+})时刻的值：
  • 初始条件表示激励接入后的瞬间

[y^{(j)}(0_{+}) (j=0,1,2,dots,n-1) ]

• 初始状态：(n)阶系统在激励 没有接入的(t=0)时刻的响应值，该 值反映了系统的历史情况，与激励无关：
  • 初始状态表示激励接入前的瞬间

[y^{(j)}(0_{-}) (j=0,1,2,dots,n-1) ]

微分方程的经典解

齐次解(y_{h}(t))

• 微分方程右侧为零时称为齐次方程，即(sum_{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}(t)=0)
• 齐次解指齐次方程的解，只由系统的特征根决定

(n)阶微分方程的齐次解

[y^{(n)}(t)+a_{n-1}y^{(n-1)}(t)+dots+a_{0}y(t)=0 ]

特征方程：

[lambda^{n}+a_{n-1}+lambda^{n-1}+dots+a_{1}lambda+a_{0}=0 ]

其中(lambda_{i})为方程的特征根

• 特征根均为单根：(y_{h}(t)=sum_{i=1}^{n}C_{i}e^{lambda_{i}t}=C_{1}e^{lambda_{1}t}+C_{2}e^{lambda_{2}t}+dots+C_{n}e^{lambda_{n}t})
• 特征根含有(r)重根(lambda_{i})：(r)重根对应((C_{1}t^{r-1}+C_{2}t^{r-2}+dots+C_{r-1}t+C_{r})e^{lambda_{i}t})
• 特征根 含共轭复根(lambda_{1,2}=alphapm jbeta)：共轭复根对应的解为：
  • (e^{alpha t}[C_{1}cos beta t+C_{2}sin beta t])
  • (Ae^{alpha t}cos(beta t-theta),Ae^{jtheta}=C_{1}+jC_{2})（辅助角公式）

(n)阶微分方程的特解(y_{p}(t))

形如(y''+py'+qy=e^{lambda x}P_{m}(x))：

设特解形如：(y^{*}=x^{k}e^{lambda x}Q_{m}(x))
其中(Q_{m}(x))为一个待定的(m)次多项式

[k= begin{cases} 0 , lambda不是特征根\ \ 1 , lambda是单特征根\ \ 2 , lambda是二重特征根 end{cases} ]

将(y^{*})回带原微分方程确定系数即可

形如(y''+py'+qy=e^{lambda x}[P_{l}(x)cos omega x+P_{n}(x)sin omega x])：

设特解形如(y^{*}=x^{k}e^{lambda x}[Q_{1}(x)cos omega x+Q_{2}(x)sin omega x])
其中(Q_{1}(x),Q_{2}(x))为待定(m)次多项式，(m=max{ l,n })

[k=begin{cases} 0 , lambdapm jomega不是特征根\ \ 1 , lambdapm jomega是特征根 end{cases} ]

将(y^{*})回带原微分方程确定系数即可

(n)阶微分方程的全解(y(t))

• (y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t))
• 此时齐次解中还有待定系数(C_{i})，(n)阶微分方程需要利用(n)个初始条件(y(0_{+}),y'(0_{+}),dots,y^{(n-1)}(0_{+}))来确定
• 齐次解(y_{h}(t))又被称作自由响应
• 特解(y_{p}(t))又被称作强迫响应

自由响应与强迫响应

• 自由响应：仅与系统本身特性有关，而与激励的形式无关，其次解仅与系统特征根有关，特征根成为系统的“固有频率”，齐次解常称为系统的固有响应或自由响应
• 强迫响应：与激励的函数形式有关，特解的形式与激励的形式有关，常称为强迫响应

暂态响应和稳态响应

• 暂态响应：指响应中暂时出现的分量，随着时间增长(tto infty)，它将消失(to 0)

• 稳态响应：指稳定的分量，常以阶跃函数(varepsilon(t))和周期函数(sin omega t,cos omega t)等形式存在

• 对于(LTI)连续系统的微分方程(y''(t)+5y'(t)+6y(t)=varepsilon(t))以及全响应(y(t)=-e^{-2t}+3)

  • 暂态响应为(-e^{-2t})，稳态响应为(3)
  • 自由响应为(-e^{-2t})，强迫响应为(3)

初始状态和初始条件的讨论

• 实际中，往往先得知系统的初始状态，即先得知激励接入前系统的历史信息
• 由于激励的接入，从(0_{-})时刻过渡到(0_{+})时刻之后，初始状态和初始条件往往不一样，我们用跳变量表示这个变化
• 求解微分方程需要从已知的初始状态(y^{(j)}(0_{-}))求得初始条件(y^{(j)}(0_{+}))

基本思路

• 如果激励加入后，在方程右端出现(delta(t))及其各阶导数，则在方程左端也应有与之对应的(delta(t))及其各阶导数项，使方程两段平衡
• 冲激函数的产生，意味着方程左端(y^{d(i)}(t))中的某些项在(t=0)处有阶跃的跳变
• 两种求解初始条件的主要方法：待定系数法和冲激平衡法，后续做题主要使用后者

例

某(LTI)连续系统的微分方程为(y''(t)+4y'(t)+3y(t)=e''(t)+2e'(t)+e(t))，已知系统激励(e(t)=varepsilon(t))，系统的初始状态为(y(0_{-})=0,y'(0_{-})=1)，试求系统的初始条件(y(0_{+}),y'(0_{+}))

法1：待定系数法

[begin{align} &设y''(t)=delta'(t)+adelta(t)+varepsilon(t)\ \ &积分得y'(t)=delta(t)+avarepsilon(t)quad y(t)=varepsilon(t)\ \ &带入原微分方程,只关注冲激项得:\ \ &delta'(t)+(4+a)delta(t)=delta'(t)+2delta(t)\ \ &对比得4+a=2to a=-2\ \ &则begin{cases} y'(t)=delta(t)-2varepsilon(t)\ \ y(t)=varepsilon(t) end{cases}\ \ &begin{cases} y'(0_{+})=y'(0_{-})+y_{e}'(0_{+})=1-2=-1\ \ y(0_{+})=y(0_{-})+y_{e}(0_{+})=0+1=1 end{cases} end{align} ]

法2：冲激平衡阵列

暂时还听不懂这部分，等明白了再回来重新写