模拟滤波器和数字滤波器（一）
下面介绍模拟滤波器和数字滤波器的频率响应的异同，以及如何使用python地scipy.signal来绘制其频谱响应和冲激阶跃响应。在第二期将谈到如何设计模拟滤波器和数字滤波器。
在正文之间，应该介绍连续时间傅立叶变换（CTFT）和离散时间傅立叶变换（DTFT）。
- CTFT 连续时间信号的傅立叶变换
时域连续，且具有非周期性的函数，可以进行傅里叶变换，求出连续的非周期的频谱。
[Large begin{aligned}X(omega) &= int_{-infty}^infty x(t)e^{-j omega t}dt \ x(t) &= frac{1}{2pi}int_{-infty}^infty X(omega)e^{j omega t}domega end{aligned} ]
- DTFT 离散时间信号的傅立叶变换
时域离散，且具有非周期性的函数，可以求出连续的周期的频谱。周期为(2pi)
[Large begin{aligned}X(omega) &= sum_{-infty}^infty x[n]e^{-j omega n} \ x[n] &= frac{1}{2pi}int_{-pi}^pi X(omega)e^{j omega n}domega end{aligned} ]最大的区别是，连续时间信号的频谱从0到无穷大，离散时间信号的频谱从0到(2pi)
下面将介绍python当中的模拟和数字滤波器。
1、模拟滤波器
比如一个二阶系统，其传递函数为：
[H(s) = frac{udnf^2}{s^2+2*udnf*dr*s+udnf^2} = frac{0s^2+0s+1}{s^2+1s+1} ]
该传递函数的时域微分形式为：
[frac{d^2y(t) }{dt^2} + 2zeta w_n frac{dy(t)}{dt} + w_n^2y(t) = w_n^2x(t) ]
import numpy as np from scipy.signal import freqs_zpk,freqs,tf2zpk import matplotlib.pyplot as plt dr = 1/2 # damping ratio udnf = 1 # undamped natural frequency b = [0,0,udnf**2] a = [1,2*udnf*dr,udnf**2] z,p,k = tf2zpk(b,a) w, h = freqs_zpk(z, p, k, worN=np.logspace(-3, 5, 1000)) fig = plt.figure(figsize=(14,7)) ax1 = fig.add_subplot(1, 1, 1) ax1.set_title('Analog filter frequency response') ax1.semilogx(w, 20 * np.log10(abs(h)), 'b') ax1.set_ylabel('Amplitude [dB]', color='b') ax1.set_xlabel('Frequency [Hz]') ax1.grid(True) ax2 = ax1.twinx() angles = np.unwrap(np.angle(h,deg=True),period=360) ax2.semilogx(w, angles, 'g') ax2.set_ylabel('Angle [degree]', color='g') plt.axis('tight') plt.show() 
from scipy.signal import impulse，step print(z,p,k) t, y = impulse((z,p,k)) t1, y1 = step((z,p,k)) plt.plot(t,y) plt.plot(t1,y1) plt.legend(["impulse response","step response"]) plt.show()
上面用到scipy.signal三个函数：
-
freqs_zpk：基于零极点的模拟频率响应。
- worN：频率轴范围。
- np.logspace：生成对数序列
-
freqs：基于有理传递函数的模拟频率响应。在本例中没有用到。尤其注意b、a对应传递函数是正幂。
b[0]*(jw)**M + b[1]*(jw)**(M-1) + ... + b[M] H(w) = ---------------------------------------------- a[0]*(jw)**N + a[1]*(jw)**(N-1) + ... + a[N] -
tf2zpk：传递函数转零极点表示。
2、数字滤波器
比如一个二阶系统：
[H(z) = frac{1}{1-(2rcos(theta)z^{-1}+r^2z^{-2}} = frac{z^2}{z^2-(2rcos(theta)z+r^2} ]
其单位脉冲响应为：
[h[n] = r^nfrac{sin(n+1)theta}{sintheta}u[n] ]
差分方程表示为：
[y[n]-2rcos(theta)y[n-1]+r^2y[n-2] = x[n] ]
import numpy as np from scipy.signal import freqz_zpk,freqz,tf2zpk import matplotlib.pyplot as plt fs = 2*np.pi r = 3/4 theta = 45/180*np.pi b = [1,0,0] a = [1,-2*r*np.cos(theta),r**2] z,p,k = tf2zpk(b,a) w, h = freqz_zpk(z, p, k, worN=np.linspace(-2.5*np.pi,2.5*np.pi,1000),fs=fs) fig = plt.figure(figsize=(14,7)) ax1 = fig.add_subplot(1, 1, 1) ax1.set_title('Digital filter frequency response') ax1.plot(w, 20 * np.log10(abs(h)), 'b') ax1.set_ylabel('Amplitude [dB]', color='b') ax1.set_xlabel('w(radians)') ax1.set_xticks([-3*np.pi,-2*np.pi,-1*np.pi,0,1*np.pi,2*np.pi,3*np.pi], [r"$-3pi$",r"$-2pi$",r"$-pi$","0",r"$pi$",r"$2pi$",r"$3pi$"]) ax1.grid(True) ax2 = ax1.twinx() angles = np.unwrap(np.angle(h,deg=True),period=360) ax2.plot(w, angles, 'g') ax2.set_ylabel('Angle [degree]', color='g') plt.axis('tight') plt.show()
该仿真波形和奥本海姆的教材上面的波形一致。
print(z,p,k) from scipy.signal import dimpulse, dstep dt = 0.1 t, y = dimpulse((z,p,k,dt), n=50) t1, y1 = dstep((z,p,k,dt), n=50) plt.stem(t,np.squeeze(y),'r') plt.plot(t1,np.squeeze(y1),'bo-') plt.legend(["impulse response","step response"]) plt.show()
需要注意：
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freqs_zpk：没有采样率这个概念，worN的单位就是Hz
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freqz_zpk：有采样率这个概念，fs的默认值为(2pi)，此时横坐标的单位为弧度。
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freqz：使用传递函数绘制频谱响应。在
scipy.signal的定义里面，此函数为负幂。jw -jw -jwM jw B(e ) b[0] + b[1]e + ... + b[M]e H(e ) = ------ = ----------------------------------- jw -jw -jwN A(e ) a[0] + a[1]e + ... + a[N]e -
弧度和频率换算举例：设置(worN=[-2pi,2pi])，如果fs使用默认值(2pi Hz)，那么实际横坐标的范围为([-2pi,2pi])，即两个周期；如果fs使用(pi Hz)，那么实际的横坐标范围为([-4pi,4pi])。其中(pi)弧度对应(fs/2) Hz.
