声明(
叠甲)：鄙人水平有限，本文为作者的学习总结，仅供参考。
1.线段树介绍
线段树说是算法，更应该算是一种二叉树数据结构的使用。
其每个树的节点表示一个区间，其孩子节点表示该区间二分下来的两个节点，其值可以表示这个区间数据的某种运算，如最值、求和等，以下以数组 [1,2,3,4] 为栗子说明,如下所示，根节点表示区间 [1,4] 的和，其它以此类推。
node：当前区间数的和[区间的左边界,区间的右边界] 10[1,4] / 3[1,2] 7[3,4] / / 1[1] 2[2] 3[3] 4[4] 有如上所示的二叉树以后我们获取区间和的时间复杂度就从 O(n) 到了 O(logn),但数据量十分庞大时这是十分重要的。当然，在节点维护时需要使用一种特殊的方法进行 —— Lazy-tag 技术，这让修改的和时间复杂为降为了O(logn)。
2.二叉树
上面说过，线段树是二叉树的一种，故在深入线段树时，我们先来了解一下二叉树的一些知识点：
如下编号为 K 的节点对应的左孩子为 K+K,右孩子为 K+K+1
在程序为了提高运行效率常常写成 K<<1 与 K<<1|1
node：节点编号 K / K<<1 K<<1|1 3.Lazy-tag 技术
对于线段树来说，Lazy-tag 技术是十分的重要的，这是将时间复杂减小来的原因。
其实现的方法具体来说就是使用一些数来对节点进行标记，从而使只有对应区间的根节点会被进行更改，不其内部的值不做更改，具体代码实现见下文。
4.举个栗子——线段树模板题
题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
- 将某区间每一个数加上 k。
- 求出某区间每一个数的和。
这种要多次对不同的区间进行操作，线段树是很好的选择，其代码实现可以分为以下几个步骤
4.1.建树
如论是维护还是查询我们都应该先有一个对应的目标不是
// 创建一个开始编号为 index // 区间为 [l,r] 的一个线段树 void build_tree(int index,int l,int r) { // 如果为叶节点，即区间中自有一个数 if(r == l) { tree[index] = nums[l]; return; } // 递归遍历所有的节点 int m = (r+l) >> 1; // 二分区间 build_tree(index<<1,l,m);// 左孩子 build_tree(index<<1|1,m+1,r);// 右孩子 // 赋值，父节点值为其俩孩子的和 tree[index] = treep[index<<1] + treep[index<<1|1]; } 4.2.维护线段树
在维护数据时，我使用 Lazy-tag 的方法进行处理，具体步骤如下：
【1】 判断区间 [l,r] 是否在 [x,y] 内
【2】 根据该节点是否被标记来确定是否要进行 lazy-tag的下传，通常使用push_down函数来实现
【3】判断是否进行左右节点的递归
【4】更新父节点的数据
// 父节点的 lazy-tag 向其孩子进行传递 void push_down(int index,int l,int r) { int m = (l+r)>>1; // 左孩子 tree[index<<1] += tag[index]*(m-l+1); tag[index<<1] += tag[index]; // 右孩子 tree[index<<1|] += tag[index]*(r-m); tag[index<<1|] += tag[index]; // 去除父节点的标志 tag[index] = 0； } // 对编号为 index，区间 [l,r] 的中 [x,y] 进行修改 void update(int index,int l,int r,int x,int y) { // [1] 判断区间 [l,r] 是否在 [x,y] 内 if(x <= l && y >= r) { tree[index] += k*(r-l+1); tag[index] += k; return; } // [2] 根据该节点是否被标记来确定是否要进行 lazy-tag的下传，通常使用push_down函数来实现 if(tag[index] != 0) push_down(index,l,r); // [3] 判断是否进行左右节点的递归 int m = (l+r)>>1; if(x <= m) update(index,l,m,x,y); // 左边 if(y > m) update(index,m+1,r,x,y);// 右边 // [4] 更新父节点的数据 tree[index] = treep[index<<1] + treep[index<<1|1]; } 4.3.查询
需要注意的是，查询时也需要进行 Lazy-tag 的下传
// 查询 [l,r] 中的 [x,y] 区间 ll calc(int index,int l,int r,int x,int y) { // [1] [l,r]是否被[x,y]覆盖 if(x <= l && y >= r) { return tree[index]; } // [2] lazy-tag 下传 if(tag[index] != 0) push_down(index,l,r); // [3] 递归左右孩子节点，并计算结果 ll ret = 0; int m = (l+r)>>1; if(x <= m) ret += calc(index<<1,l,m,x,y); // 左边 if(y > m) ret += calc(index<<1|1,m+1,r,x,y); // 右边 return ret; } 4.4.AC代码
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long int #define N_MAX 100000 int n,m,k; ll nums[N_MAX+1],tree[N_MAX*4+1],tag[N_MAX*4+1]; // 建树 void build_tree(int index,int l,int r) { // 初始化标记 tag[index] = 0; // 如果是叶节点 if(l == r) { tree[index] = nums[l]; return; } // 递归遍历所有节点 int m = (l+r) >> 1; build_tree(index<<1,l,m); // 左孩子 build_tree(index<<1|1,m+1,r);// 右孩子 // 父节点的值为两孩子 tree[index] = tree[index<<1] + tree[index<<1|1]; } // lazy-tag 下传 // 需要对左右孩子的 tag 与值都进行修改 void push_down(int index,int l,int r) { int m = (l+r)>>1; // 左孩子 tag[index <<1] += tag[index]; tree[index<<1] += tag[index]*(m-l+1); // 右孩子 tag[index <<1|1] += tag[index]; tree[index<<1|1] += tag[index]*(r-m); // 清除自己的标志 tag[index] = 0; } // 更新线段树节点的数据 void update(int index,int l,int r,int x,int y) { // [1] [l,r]是否被[x,y]覆盖 if(x <= l && y >= r) { // 更新数据与 lazy-tag tree[index] += k*(r-l+1); tag[index] += k; return; } // [2] lazy-tag 下传 if(tag[index] != 0) push_down(index,l,r); // [3] 递归左右孩子节点 int m = (l+r)>>1; if(x <= m) update(index<<1,l,m,x,y); // 左边 if(y > m) update(index<<1|1,m+1,r,x,y); // 右边 // [4] 更新数据 tree[index] = tree[index<<1] + tree[index<<1|1]; } // 查询 ll calc(int index,int l,int r,int x,int y) { // [1] [l,r]是否被[x,y]覆盖 if(x <= l && y >= r) { return tree[index]; } // [2] lazy-tag 下传 if(tag[index] != 0) push_down(index,l,r); // [3] 递归左右孩子节点，并计算结果 ll ret = 0; int m = (l+r)>>1; if(x <= m) ret += calc(index<<1,l,m,x,y); // 左边 if(y > m) ret += calc(index<<1|1,m+1,r,x,y); // 右边 return ret; } void print_tree() { cout << "tree: "; for(int i = 1;i <= 7;i++) { cout << tree[i] << " "; } cout << endl; } int main() { cin >> n >> m; // [1] 获取数据并进行建树 for(int i = 1;i <= n;i++) { cin >> nums[i]; } build_tree(1,1,n); while(m--) { int x,y,op; cin >> op >> x >> y; if(op == 1) // 更新数据 { cin >> k; update(1,1,n,x,y); } else // 搜索数据 { cout << calc(1,1,n,x,y) << endl; } } } 5.参考
洛谷线段树题解
木子喵的算法课
线段树的懒标记与应用
本文到此结束，希望对您有所帮助。
