考虑线性方程组
[mathrm{A}x=mathrm{b} ]
其中，(mathrm{A}=(a_{ij})_{ntimes n})，(mathrm{b}=[b_1,b_2,cdots,b_n]^{mathrm{T}})。在线性代数的课程中，我们已经学习过Gauss消元法，具体操作是将矩阵A转化为“阶梯型”矩阵。为方便起见，本文仅仅讨论系数矩阵非奇异的方程组，此时，目标是将矩阵A转化为上三角矩阵，再执行回代过程，即可给出方程组的解。本文将给出在计算机上的具体操作及实例代码。
一、基本Gauss消去法
我们仅仅讨论对矩阵第一列的操作，剩余的操作可以以此类推，因而不再赘述。
在执行Gauss消去法时，我们将第一列对角元以下的元素全部变为零。记第一列消元操作后的增广矩阵为([mathrm{A}^{(1)},mathrm{b}^{(1)}])，容易知道
[[mathrm{A}^{(1)},mathrm{b}^{(1)}]= begin{bmatrix} a_{11} & a_{22} & cdots &a_{1n} & b_1 \ 0 & a_{22}^{(1)} &cdots &a_{2n}^{(1)} & b_2^{(1)}\ vdots &vdots & & vdots &vdots\ 0 & a_{n2}^{(1)} & &a_{nn}^{(1)} & b_n^{(1)} end{bmatrix}]
其中
[a_{ij}^{(1)}=a_{ij}-frac{a_{i1}}{a_{11}}a_{1j}，j=2,cdots ,n ]
[a_{i1}^{(1)}=0 ]
[b_i^{(1)}=b_i-frac{a_{i1}}{a_{11}}b_1 ]
观察到重复出现的结构(frac{a_{_{i1}}}{a_{_{11}}})，我们记它为(l_{i1})，称为消元因子，并将它存储在原来(a_{i1})的位置。在计算的过程中，先计算消元因子并存储在相应位置，再执行后续的算法。
对于后续部分的运算，在第k步，只要对矩阵(A^{(k-1)}(k:n,k:n))执行相同操作即可。
二、列主元Gauss消去法
在执行Gauss消元法的过程中，如果(a_{kk}^{(k-1)})相对于其他元素绝对值较小，则会产生较大的舍入误差，影响计算精度，为此，我们引入了列主元Gauss消去法，基于交换矩阵的行不影响线性方程组的解。
记执行完k-1步消元后的增广矩阵为([mathrm{A}^{(k-1)},mathrm{b}^{(k-1)}])。考虑第k列对角元及其以下的部分。选择绝对值最大的元所在行，与当前行执行行交换，再进行Gauss消元法。
三、计算实例
用列主元Gauss消去法解以下线性方程组：
[left{ begin{array}{} 0.5x_1+1.1x_2+3.1x_3=6,\ 2x_1+4.5x_2+3.6x_3=0.02,\ 5x_1+0.96x_2+6.5x_3=0.96. end{array} right.]
#include <iostream> #include <math.h> using namespace std; int main() { double A_Extended[3][4]={0.5,1.1,3.1,6,2,4.5,3.6,0.02,5,0.96,6.5,0.96}; double X_solution[3]; for (int i=0;i<=2;i++) { int n=i; for (int p=i+1;p<=2;p++) { if (fabs(A_Extended[p][i])>fabs(A_Extended[n][i])) { n=p; } } for (int p=i;p<=2+1;p++) { double k=A_Extended[n][p]; A_Extended[n][p]=A_Extended[i][p]; A_Extended[i][p]=k; } for (int p=i+1;p<=2;p++) { A_Extended[p][i]=-A_Extended[p][i]/A_Extended[i][i]; for (int pco=i+1;pco<=2+1;pco++) { A_Extended[p][pco]=A_Extended[p][pco]+A_Extended[p][i]*A_Extended[i][pco]; } } } X_solution[2]=A_Extended[2][3]/A_Extended[2][2]; for (int i=1;i>=0;i--) { double sum=0; for (int k=2;k>i;k--) { sum=sum+A_Extended[i][k]*X_solution[k]; } X_solution[i]=(A_Extended[i][3]-sum)/A_Extended[i][i]; } cout<<X_solution[0]<<" "<<X_solution[1]<<" "<<X_solution[2]<<endl; return 0; } 
