你真的懂01背包问题吗？01背包的这几问你能答出来吗？

技术分享 2年前 (2022-07-14) 0 999+

关注

你真的懂01背包问题吗？01背包的这几问你能答出来吗？

关于01背包的几个问题

背包问题的动态转移方程是怎么来的？
你能解释背包问题的两个for循环的意义嘛？
为什么需要两个for循环，一个循环行不行？
01背包问题的for循环一定要从0开始吗？
01背包滚动数组的优化原理是什么？
01背包只用不用二维数组只用一位数组的依据是什么？

这些问题在阅读完本文之后你将会得到答案！

01背包问题介绍

有 (N)件物品和一个容量是 (V) 的背包。每件物品只能使用一次。第(i)件物品的体积是(v_i)，价值是 (w_i)。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

比如下面的4个物品，背包能够承受的最大重量为5，我们应该如何选择，使得我们获得的总价值最大：

物品	重量	价值
A	1	2
B	2	4
C	3	4
D	4	5

这个问题还是比较简单，我们直接看就知道选择物品B和物品C得到的价值最大。那么我们如何设计一个算法去实现这个问题呢？首先对于每一个物品都有两种情况，选择和不选择，我们需要选择两种情况当中能够获取最大价值的那种情况。

01背包问题动态转移方程

首先我么先要确定一个信息就是没件物品只有一件，选完就没有了。如果我们的背包当中还有剩余容量可以放下某个物品，那么对于这个物品我们就有两种选择：选或者不选。

我们定义数组dp[i][j]，其含义是对于前i件物品，在我们的背包容量为j的情况下我们能够获得的最大的收益，如果我们有N件物品，背包容量为V，那么我们能够获得的最大价值为dp[N][V]，因为他表示的是对于前N个物品，在背包容量为V的情况下我们能够获取到的最大的价值。我们可以得到下面的公式：

[dp[i][j]=max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j])，如果背包的容量大于等于物品 i 占的体积 ]

[dp[i][j]=dp[i - 1][j]，如果背包的容量小于物品 i 占的体积 ]

第一种情况（背包容量大于等于第i件物品的体积v[i]时）：
- 在这种情况下我们对于第i件物品有两种选择，一种是将其放入背包当中，另外一种就是不选他，那么我们就可以使用容量为j的背包在前i-1件物品进行选择。
- 如果我们选第i件物品，那么我们背包剩下的容量就为j - v[i]，我们还能选择的物品就是前i - 1个物品，这个情况下能够获得的最大的收益为(dp[i - 1][j - v[i]])，再加上我们选择的第i件物品的价值，我们选择第i件物品能够获得的总收益为dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]。
- 如果我们不选择第i件物品，那么我们背包剩余容量仍然为j，而且我们只能从前i - 1 个商品当中进行选择，那么我们最大的收益就为dp[i - 1][j]。
第二种情况（背包容量小于第i件物品的体积v[i]时）：
- 这种情况下我们只能够选择前i - 1个商品，因此我们能够获取的最大收益为dp[i - 1][j]。

01背包数据依赖问题分析

在上文当中我们已经分析出来了我们的动态转移方程：

[dp[i][j]=max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j])，如果背包的容量大于等于物品 i 占的体积 ]

[dp[i][j]=dp[i - 1][j]，如果背包的容量小于物品 i 占的体积 ]

根据上面两个公式分析，我们知道要想解出dp[i][j]的值，我们首先需要知道dp[i - 1][j - v[i]]的值和dp[i - 1][j]的值，他们之间的依赖关系如下图所示：

基于上面的数据依赖关系，我们知道我们如果想求dp[N][V]的值，首先要求出dp数组第N - 1行的所有的值，因为dp[N][V]依赖dp[N - 1][V]，而且可能依赖dp[N - 1][i]的值（i大于等于0，小于V），而dp[N - 1][V]又依赖dp[N - 2][]V......

根据上面的分析过程，如果我们想计算出dp[N][V]的结果，那就需要从第1行开始往后计算，一直算到第N行，因此我们可以写出下面的代码：

Java版本：

import java.util.Scanner;  public class Main {    public static int backpack(int[] w, int[] v, int N, int V) {     int[][] dp = new int[N + 1][V + 1];     // 初始化     for (int i = v[1]; i <= V; ++i) {       dp[1][i] = w[1];     }     // 第一行已经初始化 从第二行开始     for (int i = 2; i <= N; ++i) {       for (int j = 0; j <= V; ++j) {         if (j >= v[i])           dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j]);         else           dp[i][j] = dp[i - 1][j];       }     }     return dp[N][V];   }    public static void main(String[] args) {     Scanner scanner = new Scanner(System.in);     int N = scanner.nextInt();     int V = scanner.nextInt();     int[] w = new int[N + 1];     int[] v = new int[N + 1];     for (int i = 1; i <= N; i++) {       v[i] = scanner.nextInt();       w[i] = scanner.nextInt();     }     System.out.println(backpack(w, v, N, V));   } }

C++版本：

#include <iostream> using namespace std;  #define L 20000 int w[L]; // 物品价值 int v[L]; // 物品体积 int dp[L][L];  int N; // 物品数量 int V; // 背包的体积  int backpack() {  	// 初始化 	for (int i = v[1]; i <= V; ++i) { 		dp[1][i] = w[1]; 	} 	// 第一行已经初始化 从第二行开始 	for (int i = 2; i <= N; ++i) { 		for (int j = 0; j <= V; ++j) { 			if (j >= v[i]) 				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j]); 			else 				dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 		} 	} 	return dp[N][V]; }  int main() { 	cin >> N >> V; 	for (int i = 1; i <= N; ++i) { 		cin >> v[i] >> w[i]; 	} 	cout << backpack(); 	return 0; }

从上图看我们在计算第i的数据的时候我们只依赖第i - 1行，我们在第i行从后往前遍历并不会破坏动态转移公式的要求。

因此下面的代码也是正确的：

public static int backpack(int[] w, int[] v, int N, int V) {     int[][] dp = new int[N + 1][V + 1];     // 初始化     for (int i = v[1]; i <= V; ++i) {         dp[1][i] = w[1];     }     // 第一行已经初始化 从第二行开始     for (int i = 2; i <= N; ++i) {         // 这里是从末尾到0         // 前面是从0遍历到末尾         for (int j = V; j >= 0; --j) {             if (j >= v[i])                 dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j]);             else                 dp[i][j] = dp[i - 1][j];         }     }     return dp[N][V]; }

01背包问题优化——滚动数组

我们在解决背包问的时候我们是开辟了一个二维数组dp，那么我们能不能想斐波拉契数列那样降低算法的空间复杂度呢？我们已经很清楚了我们在计算dp数据的时候进行计算的时候只使用了两行数据，那么我们只需要申请两行的空间即可，不需要申请那么大的数组空间，计算的时候反复在两行数据当中交替计算既可。比如说我们已经计算好第一行的数据了（初始化），那么我们可以根据第一行得到的结果得到第二行，然后根据第二行，将计算的结结果重新存储到第一行，如此交替反复，像这种方法叫做滚动数组。

下面的代码当中dp数组是从第0行开始使用的，前面的代码是从第一行开始的。

import java.util.Scanner;  public class Main {       public static int backpack(int[] v, int[] w, int V) {       int N = w.length;       int[][] dp = new int[2][V + 1];       for (int i = v[0]; i < V; ++i) {         dp[0][i] = w[0];       }       for (int i = 1; i < N; ++i) {         for (int j = V; j >= 0; --j) {           if (j >= v[i])             dp[i % 2][j] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][j],                 dp[(i - 1) % 2][j - v[i]] + w[i]);           else             dp[i % 2][j] = dp[(i - 1) % 2][j];         }       }       return dp[(N - 1) % 2][V];   }     public static void main(String[] args) {     Scanner scanner = new Scanner(System.in);     int N = scanner.nextInt();     int V = scanner.nextInt();     int[] w = new int[N];     int[] v = new int[N];     for (int i = 0; i < N; i++) {       v[i] = scanner.nextInt();       w[i] = scanner.nextInt();     }     System.out.println(backpack(v, w, V));   } }

背包空间再优化——单行数组和它的遍历顺序问题

我们还能继续压缩空间吗🤣？我们在进行空间问题的优化的时候只要不破坏动态转移公式，只需要我们进行的优化能够满足dp[i][j]的计算在它所依赖的数据之后计算即可。

import java.util.Scanner;  public class Main {    public static int backpack(int[] v, int[] w, int V) {     int N = w.length;     int[] dp = new int[V + 1];     for (int i = v[0]; i < V; ++i) {       dp[i] = w[0];     }     for (int i = 1; i < N; ++i) {       for (int j = V; j >= v[i]; --j) {         dp[j] = Math.max(dp[j - v[i]] + w[i], dp[j]);       }     }     return dp[V];   }    public static void main(String[] args) {     Scanner scanner = new Scanner(System.in);     int N = scanner.nextInt();     int V = scanner.nextInt();     int[] w = new int[N];     int[] v = new int[N];     for (int i = 0; i < N; i++) {       v[i] = scanner.nextInt();       w[i] = scanner.nextInt();     }     System.out.println(backpack(v, w, V));   } }

我们现在来好好分析一下上面的代码：

根据动态转移公式dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j])我们知道，第i行的第j个数据只依赖第i - 1行的前j个数据，跟第j个数据之后的数据没有关系。因此我们在使用一维数组的时候可以从后往前计算（且只能从后往前计算，如果从前往后计算会破坏动态转移公式，因为第j个数据跟他前面的数据有依赖关系，跟他后面的数据没有依赖关系）就能够满足我们的动态转移公式。

如果我们从在使用单行数组的时候从前往后计算，那么会使得一维数据前面部分数据的状态从i - 1行的状态变成第i行的状态，像下面这样。

但是一维数组当中后部分的数据还是i - 1行的状态，当我们去更新他们的时候他们依赖前面部分数据的i - 1行的状态，但是他们已经更新到第i的状态了，因此破坏了动态规划的转移方程，但是如果我们从后往前进行遍历那么前面的状态始终是第i - 1行的状态，因此没有破坏动态规划的转移方程，因此我们需要从后往前遍历。

问题答案

如果你已经看懂上面所谈论到的内容的话，关于前面的几个问题相信你已经有了答案。上面那些问题最终涉及到的就是01背包问题的动态转移方程了，我们在写代码的时候一定不能破坏动态转移方程，也就是要满足动态转移方程的依赖关系，即第i行的第j个数据只依赖第i - 1行的前j个数据，跟第j个数据之后的数据没有关系。

背包问题的两个for循环的意义：
- 因为我们需要解出dp数组当中第N行第V列的数据，所以我们需要解出二维数组当中所有的数据，因此我们需要进行二维数组的遍历，进行一维遍历不行。
01背包问题的for循环一定要从0开始吗？
- 不一定，我们只需要满足动态转移方程的数据依赖要求就行，不管是从前往后还是从后往前我们在使用二维dp数组的遍历的时候都可以满足数据依赖的要求。但是我们如果使用一维数组的时候就一定要从后往前遍历，因为如果从前往后遍历，第i行状态会覆盖第i - 1行的状态，而数组后面的数据需要i - 1行状态的数据，而它有被覆盖了因此不行。
其余问题的答案在阅读完本文之后相信你心里已经很清楚了！！！

动态规划为什么叫动态规划

首先我们需要明白什么是规划所谓的规划 就是寻找最优值的过程，比如说我们在旅行的时候做规划就是为了又更好旅行体验，而我们在做算法题的时候需要找到最好的结果，比如在背包问题当中我们要找到价值最大的一种选择，这也是一种规划，那为什么是动态的呢？所谓动态就是我们在寻找最优值的过程当中，选择是变化的。比如说对于背包问题的公式dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - v[i] + w[i], dp[i - 1][j])我们在计算出结果之前并不知道那种选择好，因为我们要选择两者中间值较大的哪个选择，这就是动态选择的过程！所以动态规划被称作动态规划！